Высшая математика - лекции, конспекты, задачи с решениями

Интеграл Фурье http://1c-metod.ru/ Ряды Фурье Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье

 

Методические указания к контрольной работе №1.

Линейная алгебра.

 Пример. Вычислить определитель по правилу треугольников:

  Минором  элемента определителя n-го порядка  называется определитель (n-1)-го порядка, который получается из  вычеркиванием i-той строки и k-го столбца.

  Алгебраическим дополнением  элемента  называется его минор , умноженный на :

=.

 Нетрудно видеть, что знаки, которые следует ставить перед соответствующими минорами при вычислении алгебраических дополнений, чередуются в шахматном порядке.

 Для вычисления определителей второго и третьего порядков существуют простые правила. Приведем теорему, облегчающую процедуру вычисления определителей более высоких порядков.

 Теорема Лапласа. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения

(разложение по элементам k-того столбца);

(разложение по элементам i-той строки).

 Пример. Вычислить определитель разложением по элементам первой строки:

.

  С помощью определителей удобно записывать решение систем линейных уравнений.

  Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

  Обозначим через  определитель системы  и вспомогательные определители, полученные из   заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов:

  

 

 Будем считать, что

 Решением системы является совокупность значений x,y,z, определяемая так называемыми формулами Крамера

  Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

  Введем соответствующие этой системе матрицы

  Тогда систему можно записать в матричной форме

AX=B.

 Для решения матричного уравнения умножим обе части этого равенства слева на некоторую матрицу

AX=B, 

а затем подберем (если это удастся) матрицу  так, что

A=E, 

где Е – единичная матрица.

  Тогда из  сразу получим решение

X=B.

  Матрица , удовлетворяющая условию , называется обратной матрицей для матрицы А.

Алгоритм построения обратной матрицы:

Вычислить det A и убедиться в том, что  (если =0, обратная матрица не существует);

Найти транспонированную матрицу , т.е. матрицу, в которой строки меняются со столбцами (с теми же номерами)

   =

Построить союзную (присоединенную) матрицу  путем замены в матрице  каждого

элемента его алгебраическим дополнением:

=

Вычислить обратную матрицу по формуле

Рассмотрим СЛУ m уравнений с n неизвестными

  Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований СЛУ приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида.

 Будем называть элементарными следующие преобразования:

перестановка строк местами;

умножение элементов какой – либо строки на одно и то же число не равное нулю и прибавление к соответствующим элементам другой строки.