Высшая математика - лекции, конспекты, задачи с решениями

Начертательная геометрия
Фронтально проецирующая плоскость
Фронтальная плоскость уровня
Фронталь плоскости
Прямая, параллельная плоскости
Взаимная параллельность плоскостей
Примеры изображения плоскостей общего и частного положения
Задание поверхности на комплексном чертеже
Определитель поверхности
Алгоритм конструирования поверхности
Развертывающиеся поверхности
Комплексный чертеж призматической поверхности
Задание кривых линейчатых поверхностей
Задание цилиндрической поверхности общего вида на комплексном чертеже
Неразвертывающиеся линейчатые поверхности с двумя направляющими
Алгоритм построения цилиндроида
Коноид
Поверхности вращения
Поверхности вращения второго порядка
Сфера образуется вращением окружности
Эллипсоид вращения
Гиперболоид вращения
Тор- поверхность вращения 4 порядка
Сконструировать поверхность: тор-кольцо
Винтовые поверхности
Решение позиционных и метрических задач
Позиционные задачи
Решение главных позиционных задач
Конические сечения
Построить линию пересечения сферы
Метрические задачи.
Построение плоскости, касательной к поверхности
Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами
Преобразование комплексного чертежа
Плоский чертёж
Третья основная задача преобразования комплексного чертежа
Решение четырех основных задач преобразованием комплексного чертежа
Плоскость общего положения поставить в положение проецирующей
Решение позиционных задач с помощью преобразования комплексного чертежа
Технические чертежи

Изображения на технических чертежах

Разрезы
Классификация разрезов
Соединение части вида и части разреза
Сечения
Выносные элементы
По наглядному изображению построить три вида детали и выполнить необходимые разрезы.
Построить три вида детали и выполнить необходимые разрезы
Сфера
Аксонометрия
Изометрия окружности
Прямоугольная диметрия
Сети, компьютеры
Локальные и глобальные
компьютерные сети
Методы маршрутизации
Построение сети
Технология Ethernet
Технология мобильных сетей
Адресация в IP-сетях
Вычислительные сети
Адресация в сетях
Топология сети
Глобальная компьютерная сеть Интернет
Электронная почта
Адрес E-mail
Поиск информации в Интернет
Структурированные кабельные системы
Математика
Аналитическая геометрия
Векторная алгебра
Пределы
Примеры вычисления интегралов
Производная и дифференциал
Изменить порядок интегрирования
в интеграле
Вычислить двойной интеграл
Интегрирование по частям
Исследовать на сходимость ряд
Вычислить предел функции
Решение типового варианта
контрольной работы
Энергетика
Курс лекций общая энергетика
Физика, электротехника
Лабораторная работа по ТОЭ
Двигатели, генераторы, трансформаторы
Контрольная по физике
ТОЭ теоретические основы
электротехники
Цифровые электронные устройства
Способы охлаждения
полупроводниковых приборов
Теория электрических цепей
Тормозное рентгеновское излучение
Ядерная модель атома
Равновесная плотность энергии излучения
Способы получения
интерференционной картины
Понятие когерентности
Явление дифракции
Дифракция от круглого отверстия
Дифракция Фраунгофера от щели
Дифракционная решетка
Тепловое излучение. Формула Планка
Техническая механика
Контрольная работа
Курс лекций
Лабораторные работы
Задачи по сопромату
Моменты инерции сечения
Деформации и перемещения при кручении
валов
Определение опорных реакций
Расчет статически неопределимых балок
Расчет ферм
Расчеты на прочность по допускаемым
напряжениям
Моменты инерции
Изгиб с кручением
Вычислить упругую объемную
деформацию
Рассчитатьна прочность по III-ей теории
прочности
История искусства
Лекции по эргономике
для дизайнеров интерьера
Египет, Индия и Китай
Доисторическая эпоха
Буддизм
Ассирия
ЭЛЛАДА
Коринфский стиль
Рим
Хлеба и зрелищ
этрусский дом
ДРЕВНЕХРИСТИАНСКАЯ ЭПОХА
Борьба язычества с христианством
римские катакомбы
САСАНИДЫ
Магометанство
Появление арабов в Европе
История искусства государства
Российского

Дальнейшее развитие христианства
в Европе

Византийская архитектура
Новгорода и Пскова
Покровский собор в Филях
четыре вида древней иконописи
Иконоборство
Эпоха петровских преобразований
История искусства западной Европы
периода Возрождения
Романский стиль. — Готика
Церковь Парижской Богоматери
ИТАЛИЯ В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ
Жизнь Италии в эпоху Возрождения
Ломбардское направление живопис
НИДЕРЛАНДЫ
Леонардо да Винчи
Общее состояние искусств в Европе.
Народные росписи
Уральский расписной туесок
Нижнетагильские туеса
А.Н.Голубева «Тагильский букет»
 

 

Аналитическая геометрия

Выберем в пространстве две упорядоченные точки А и В.Соответствующий направленный отрезок называется вектором.

Расстояние между точками А и В называется модулем или длиной вектора Для модуля вектора  используются обозначения ,, a.Вектор а называется единичным вектором, если |а| =1.

Несколько векторов называются коллинеарными, если все они расположены на прямых, параллельных одной и той же прямой. Если векторы а и b коллинеарные, то записывают ||.

Несколько векторов называются компланарными, если существует плоскость, параллельная всем прямым, на которых эти векторы расположены.

Составим суммы векторов, умноженных на числа

Выражения такого вида называются линейными комбинациями векторов.

Если некоторый вектор представлен в виде линейной комбинации каких-либо векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам.

Базисом в пространстве называют любые три упорядоченных некомпланарных вектора. При этом любой вектор пространства является их линейной комбинацией.

Если   - базис в пространстве, то любой вектор

при этом числа называются координатами вектора  в базисе . Записывают .

Выберем в пространстве точку О и возьмем упорядоченную тройку ортогональных единичных векторов  базис в пространстве.

Совокупность точки О и базиса  называется ортогональной декартовой системой координат. При этом принята следующая терминология: О - начало координат; пря­мые, проходящие через начало в на­правлении базисных векторов - оси координат; плоскости, проходящие через оси координат – координатные плоскости.

На рис.1 показана правая система координат.

 Рис.2.1.

Если А, В - точки, заданные в декартовой систе­ме координат, то координаты и модуль вектора можно найти по формулам 

,  (2.1)

, (2.2)

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов, умноженному на косинус угла меж­ду векторами

.

Если векторы заданы координатами, то скалярное произведение вычисляется по формуле

  (2.3)

С помощью скалярного произведения можно найти угол между векторами через их координаты:

  (2.4)

Векторным произведением вектора  на вектор  называется вектор , модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , а на­правление ортогонально к векторам и , причем векторы образуют правую тройку векторов .

Обозначается векторное произведение

Если векторы заданы координатами, то векторное произведение находится по формуле

.  (2.5)

С помощью векторного произведения можно вычислить площадь треугольника , где и - векторы, на которых построен треугольник. 

Смешанное произведение трех векторов определяется следующим образом:

Модуль смешанного произведения выражает объем параллелепи­педа, построенного на перемножаемых векторах.

Если известны координаты векторов, то

.  (2.6)

Линейное уравнение вида

Ах + Ву + Сz+D = 0 (2.7)

называется общим уравнением плоскости.

Вектор =(A, B, C)составленный из коэффициентов при x, y, z, направлен по нормали к плоскости (5.7) и называется нормальным векторам плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

M (x 0 , y 0 , z 0) имеет вид 

А(х -х0) + В(у –у0) + С(z-z0)= 0 .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 (x 1 , y 1 , z 1), M2 (x 2 , y 2 , z 2), M3 (x 3 , y 3 , z 3),не лежащие на одной прямой, имеет вид:

  (2.8)

 

Канонические уравнения прямой линии имеют вид

Здесь M (x 0 , y 0 , z 0) - некоторая фиксированная точка, принад­лежащая данной прямой; =(m, n, p) - направляющий вектор прямой, т.е. вектор, лежащий на прямой, параллельной данной.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1 (x 1 , y 1 , z 1), M2 (x 2 , y 2 , z 2 ), имеет вид 

  (2.9)

Если точки А(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2 ), М(х, у, z) лежат на одной пря­мой и, то координаты точки М можно найти по формулам

; ;  (2.10)

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

Ах +Ву + С = 0,

причем хотя бы один из коэффициентов отличен 6т нуля.

Ненулевой вектор =(A, B), перпендикулярный к данной прямой, называется нормальным вектором прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом k име­ет вид у = kх + b (k = tg φ, где φ - угол наклона прямой к оси Оx).

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых с уг­ловыми коэффициентами k1 и k2 определяются соответственно равен­ствами

k1  = k2 , k1 =-1/ k2 .

Уравнение прямой, проходящей через точку М(x0 , y0) - параллельно данной прямой y = k2 + b имеет вид

у - у0 = k2(x-x0) (2.11)

Уравнение прямой, проходящей через точку М(x0 , y0) перпендику­лярно данной прямой y = k1 + b имеет вид

у - у0 =  (х-х0). 2.12)

Расстояние d от точки М(x0 , y0) до прямой Ах + Bу + С = 0 определяется по формуле

  (2.13)