Дифференцирование функции, заданной неявно
Найти производные заданных функций
Пример. Найти
:
Задачи о скорости изменения функций.
Пусть тело движется неравномерно. Известно, что одной из характеристик
движения является скорость. При неравномерном движении скорость – величина
переменная. Иногда же нужно знать скорость в определенный момент времени,
например в момент приземления парашютиста, на закруглении пути, в момент
аварии и т.д. Это приводит к следующей задаче: Тело движется неравномерно
по закону
. Найти скорость движения в произвольный момент времени

С механической точки зрения производная
есть скорость движения тела.
Пример . Написать уравнения касательной
и нормали к параболе
в точке
.
В примерах №№ 1-4 найти производные функций.
Производные логарифмической и показательной
функций
Производная обратной функции
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
функции в точке Функция, имеющая производную в данной точке, называется
дифференцируемой в этой точке.
Правила дифференцирования основных элементарных
функций
Дифференцирование функций, заданных неявно. Метод
логарифмического дифференцирования
Дифференциал функции и его геометрический
смысл Мы говорим «дифференцировать», «дифференциальное исчисление»,
«дифференцируемая» и так далее, когда речь идет о производных функции.
Такое несоответствие в терминологии объясняется тем, что первоначально
в математическом анализе возникло понятие дифференциала, а понятие производной
появилось и заняло главенствующее положение позже. Понятия производной
и дифференциала тесно связаны между собой. Термин «дифференциал» в переводе
с латинского языка означает «разность».
Примерный вариант контрольной работы (с
решением)
Производная и дифференциал функции одной
переменной
ПРИМЕР. Найдём угловой коэффициент касательной
K к графику Г функции
в точке
с абсциссой
и составим уравнение
этой касательной K.
ПРИМЕР. Найдём односторонние производные
функции
в точке
,
Геометрический смысл дифференциала.
Производная постоянной функции равна нулю
Теорема (о производной сложной функции)
Найдём производную третьего порядка от
функции
.
Производная входит в качестве существенной составной части в одно из
фундаментальных понятий экономической теории - в
понятие эластичности одной переменной по другой переменной.