Решение типового варианта контрольной работы

Дифференцирование функции, заданной неявно

Найти производные заданных функций

Пример. Найти :

Задачи о скорости изменения функций. Пусть тело движется неравномерно. Известно, что одной из характеристик движения является скорость. При неравномерном движении скорость – величина переменная. Иногда же нужно знать скорость в определенный момент времени, например в момент приземления парашютиста, на закруглении пути, в момент аварии и т.д. Это приводит к следующей задаче: Тело движется неравномерно по закону . Найти скорость движения в произвольный момент времени

С механической точки зрения производная есть скорость движения тела.

Пример . Написать уравнения касательной и нормали к параболе   в точке .

В примерах №№ 1-4 найти производные функций.

Производные логарифмической и показательной функций

Производная обратной функции

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью  функции в точке Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Правила дифференцирования основных элементарных функций

Дифференцирование функций, заданных неявно. Метод логарифмического дифференцирования

Дифференциал функции и его геометрический смысл Мы говорим «дифференцировать», «дифференциальное исчисление», «дифференцируемая» и так далее, когда речь идет о производных функции. Такое несоответствие в терминологии объясняется тем, что первоначально  в математическом анализе возникло понятие дифференциала, а понятие производной появилось и заняло главенствующее положение позже. Понятия производной  и дифференциала тесно связаны между собой. Термин «дифференциал» в переводе  с латинского языка означает «разность».

Примерный вариант контрольной работы (с решением)

Производная и дифференциал функции одной переменной

ПРИМЕР. Найдём угловой коэффициент касательной K к графику Г функции   в точке  с абсциссой  и составим уравнение этой касательной K.

ПРИМЕР. Найдём односторонние производные функции  в точке ,

Геометрический смысл дифференциала.

Производная постоянной функции равна нулю

Теорема (о производной сложной функции)

Найдём производную третьего порядка от функции .

Производная входит в качестве существенной составной части в одно из фундаментальных понятий экономической теории - в понятие эластичности одной переменной по другой переменной.