Дифференцирование функции, заданной неявно
Найти производные заданных функций
Пример. Найти
:
Задачи о скорости изменения функций. Пусть тело движется неравномерно. Известно, что одной из характеристик движения является скорость. При неравномерном движении скорость – величина переменная. Иногда же нужно знать скорость в определенный момент времени, например в момент приземления парашютиста, на закруглении пути, в момент аварии и т.д. Это приводит к следующей задаче: Тело движется неравномерно по закону
. Найти скорость движения в произвольный момент времени
С механической точки зрения производная есть скорость движения тела.
Пример . Написать уравнения касательной и нормали к параболе
в точке
.
В примерах №№ 1-4 найти производные функций.
Производные логарифмической и показательной функций
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Правила дифференцирования основных элементарных функций
Дифференцирование функций, заданных неявно. Метод логарифмического дифференцирования
Дифференциал функции и его геометрический смысл Мы говорим «дифференцировать», «дифференциальное исчисление», «дифференцируемая» и так далее, когда речь идет о производных функции. Такое несоответствие в терминологии объясняется тем, что первоначально в математическом анализе возникло понятие дифференциала, а понятие производной появилось и заняло главенствующее положение позже. Понятия производной и дифференциала тесно связаны между собой. Термин «дифференциал» в переводе с латинского языка означает «разность».
Примерный вариант контрольной работы (с решением)
Производная и дифференциал функции одной переменной
ПРИМЕР. Найдём угловой коэффициент касательной K к графику Г функции
в точке
с абсциссой
и составим уравнение этой касательной K.
ПРИМЕР. Найдём односторонние производные функции
в точке
,
Геометрический смысл дифференциала.
Производная постоянной функции равна нулю
Теорема (о производной сложной функции)
Найдём производную третьего порядка от функции
.
Производная входит в качестве существенной составной части в одно из фундаментальных понятий экономической теории - в понятие эластичности одной переменной по другой переменной.
| |