Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad bloknot-forum.ru

Лабораторная работа № 3

 Исследование переходных процессов при разряде конденсатора

Цель работы: ознакомиться с иллюстрацией переходного процесса в лабораторных условиях и выявить факторы, влияющие на его характер и продолжительность.

1 Основные сведения

 Настоящая работа ставит задачу экспериментально проверить установленные теоретические законы изменения тока и напряжений в переходных процессах первого и второго порядков на участках цепи, содержащей R и C, или R L и C в схемах, представленных на рис. 3.1. а, б, при разряде конденсатора.

 

 Рис. 3.1, а Рис. 3.1, б

  В этих схемах заряженный конденсатор переключается с контакта 1 на контакт 2 переключателя Q. После переключения конденсатор разряжается по ветви, содержащей индуктивность L и сопротивление R. При отсутствии индуктивности имеем переходный процесс первого порядка, при наличии - второго. Процесс может быть записан в функции времени аналитически (в виде формулы), графически (кривая на графике) и экспериментально в виде осциллограммы.

  Аналитически переходный процесс можно записать после решения следующего интегро-дифференциального уравнения, вытекающего из 2-го закона Кирхгофа.

Для процесса первого порядка:

  ( 3.1 )

Для процесса второго порядка:

  ( 3.2 )

При этом начальные условия определяются законами коммутации.

1-й закон:

Ток в ветви с индуктивностью в первый момент после коммутации равен току в этой же ветви в момент, непосредственно предшествующий коммутации

 (iL(0)= iL(0-))

2-й закон:

Напряжение на емкости в первый момент после коммутации равно напряжению на этой же емкости в момент, непосредственно предшествующий коммутации

 (uC(0)= uC(0-))

Иначе говоря, ток на индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться скачком. В рассматриваемых схемах до коммутации (положение ключа 1) напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника, а ток через индуктивность не течет. Таким образом, совокупность независимых начальных условий для схем (рис. 3.1) имеет вид

для процесса первого порядка: uC (0)=E ( 3.3 )

для процесса второго порядка: i (0)=0 , uC (0)=E ( 3.4 )

  Напряжение и ток в переходном процессе в общем случае содержат две компоненты: принужденную - uCпр, обусловленную наличием источников ЭДС в послекоммутационной схеме, и свободную - uCcв, обусловленную свободной энергией, запасаемой в магнитном поле индуктивности и электрическом поле емкости:

uC(t)=uCпр(t)+uCсв(t) .

Так как в данной цепи при переключении с клеммы 1 на клемму 2 ЭДС исключается, то и принужденные составляющие напряжения и тока будут

 отсутствовать, т.е. uCпр (t)=0, uC (t)=uCсв (t).

Дифференциальному уравнению (3.1) соответствует характеристическое уравнение 1/pC + R = 0

Его корень p=-1/RС, а общий вид свободной составляющей:

.

Постоянная интегрирования A определяется из начального условия (3.3) и, следовательно A=E.

Окончательно  .

Величина t называется постоянной времени процесса и численно равна времени, в течение которого свободная составляющая уменьшается в e (2,72) раз.

Дифференциальному уравнению (3.2) соответствует характеристическое уравнение 1/pC + pL + R = 0,

 или  p2 + pR/L + 1/LC = 0.

Решая, получим следующие два корня:

 , ( 3.5 )

где d=R/2L  - коэффициент затухания свободного тока, 1/с;

 w0=1/(LC) - собственная угловая частота, 1/с.

 Как видно из (3.5), возможны три случая значений корней характеристического уравнения в зависимости от знака подкоренного выражения. Соответственно существует три типа, или характера переходных процессов. Рассмотрим их применительно к исследуемой цепи.

1) Случай апериодического разряда конденсатора.

 Имеет место, когда корни действительные и различные, то есть

 d>w0, или R/2L>1/(LC), или R>2r,

где r=(L/C)-волновое сопротивление контура.

  В этом случае переходный процесс описывается следующим уравнением: 

 ,

где А1 и A2 - постоянные интегрирования, которые определяют по начальным условиям (3.4):

i(0)=A1+A2=0

 uC(0)=uL(0)+uR(0)=Li’(0)+Ri(0)=p1A1L+p2A2L=E

То есть необходимо решить систему уравнений

A1 + A2=0; p1A1+p2A2=E/L ( 3.6 ) Откуда A1=-A2=.

Окончательно имеем закон изменения тока в цепи

 если принять |p1|<|p2|, то

 ;

 ; ( 3.7 )

 

 Графики зависимостей i(t), uL(t) и uC(t) изображены на рис.3.2.

 

 Рис.3.2

 

Из уравнения i’(t)=0 (или uL(t)=0) можно найти значение критического времени, соответствующее максимуму разрядного тока:

 ,

откуда tкр=.

 Напряжение на индуктивности начинает изменяться от значения uL=E, с течением времени спадает по апериодическому закону и при t=tкр достигает нулевого значения, затем меняет знак и достигает своего отрицательного максимума при t=2tкр, в дальнейшем, не меняя знака, уменьшается до нуля.

  Энергетическая сторона переходного процесса объясняется следующим образом. Потенциальная энергия электрического поля заряженного конденсатора (CE2/2) с течением времени расходуется на рассеивание в виде тепла в сопротивлении R и на увеличение запаса потенциальной энергии в магнитном поле индуктивности (LI2/2). От нуля до tкр энергия магнитного поля увеличивается, достигая своего максимума вместе с током, затем убывает, а тепловые потери в сопротивлении R уменьшаются не только за счет убыли энергии конденсатора, но и за счет уменьшения энергии, запасенной индуктивностью.

 

2) Случай критического разряда.

 Имеет место, когда корни действительные и равные, то есть

 d=w0, или R/2L=1/(LC), или R=2r , p1=p2=-d.

 В этом случае переходный процесс описывается следующим уравнением: 

 ,

где А1 и A2 - постоянные интегрирования, которые определяют по начальным условиям таким же образом, как это было сделано для апериодического разряда. Окончательно выражения, описывающие критический разряд в схеме, имеют вид:

 ;

 ; ( 3.8 )

 .

Кривые критического переходного процесса по характеру аналогичны кривым (рис.3.2).

3) Случай колебательного разряда конденсатора.

  Имеет место, когда корни комплексно-сопряженные, то есть

 d<w0, или R/2L<1/(LC), или R<2r

 p1=-d+jw, p2=-d-jw,

где  - угловая частота затухающих колебаний.

  В этом случае переходный процесс описывается следующим уравнением: 

 ,

где A и a - постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям. В нашем случае получим

 A=E/wL , a =0. 

Окончательно выражения, описывающие критический разряд в схеме, имеют вид:

 ,

 , ( 3.9 )

 ,

где .

  Графики кривых при колебательном разряде конденсатора изображены на рис. 3.3.

 

 Рис. 3.3

Период затухающих колебаний T=2p/w.

Помимо описанных возможны такие случаи коммутации, когда попытка использования законов коммутации в сформулированной выше форме не дает возможности определить начальные условия процесса, так как приводит к противоречию, например, схемы на рис. 3.4 и рис. 3.5.

 Рис. 3.4 Рис. 3.5

В схеме рис. 3.4, применяя закон коммутации, запишем uC1(0)=E и uC2(0)=0, но с другой стороны после коммутации uC1(0)=uC2(0)! Так же и в схеме рис. 3.5: ток i1 до коммутации равен E/R1, а ток i2 равен нулю, но после коммутации это просто один и тот же ток, то есть i1=i2! Можно заметить, что в этих схемах при коммутации происходит мгновенное изменение одного из параметров цепи: емкости в первом случае и индуктивности во втором. В подобных случаях следует использовать обобщенные законы коммутации.

1-й:

закон

Суммарное потокосцепление в любом замкнутом контуре не может измениться скачком  (S(L×i)|0+=S(L×i)|0-)

2-й:

закон

Суммарный заряд на емкостях, подключенных к какому-либо узлу, не может измениться скачком (S(C×u)|0+=S(C×u)|0-)

 Рассмотрим использование обобщенного закона коммутации на примере схемы рис. 3.4. Здесь uC1(0-)=E , uC2(0-)=0.

Суммарный заряд до коммутации:

 Q(0-)=C1uc1(0-)+C2uC2(0-)=C1E.

Суммарный заряд в первый момент после коммутации:

 Q(0+)=C1uc1(0+)+C2uC2(0+)=(C1+C2)uC(0),

так как uc1(0+)=uC2(0+)=uC(0).

По 2-му обобщенному закону коммутации

  Q(0+)= Q(0-), или (C1+C2) ×uC(0)= C1E, 

откуда uC(0)= C1E/(C1+C2) - независимое начальное условие для переходного процесса в цепи.

 График процесса изображен на рис.3.6.

 

 Рис.3.6

2 Рабочее задание

  2.1 Установить экспериментально влияние параметров R и C цепи апериодического разряда первого порядка на постоянную времени. Снять осциллограмму разряда.

  2.2 Определить постоянную времени апериодического разряда конденсатора для цепи первого порядка. Результат сравнить с расчетной величиной.

 2.3 В цепи второго порядка экспериментально определить влияние параметров схемы на вид переходного процесса. Снять осциллограмму колебательного разряда конденсатора.

 2.4 По осциллограмме колебательного разряда определить угловую частоту затухающих колебаний и коэффициент затухания. Результаты сравнить с соответствующими расчетными величинами.

 2.5 Собрать схему для проверки 2-го обобщенного закона коммутации, определить начальные условия расчетом, сравнить с осциллограммой.

3 Описание лабораторной установки

 В лабораторной работе используется следующее оборудование: источник постоянного напряжения, поляризованное реле, конденсатор, индуктивные катушки, магазин сопротивлений и электронно-лучевой осциллограф. Поляризованное реле обеспечивает повторяемость переходного процесса с частотой 50 Гц и, таким образом, возможность наблюдения его на экране осциллографа.

 Данная лабораторная работа также может быть выполнена в полном объеме на компьютере с помощью программы WorkBench Electronics.

 

4 Порядок проведения лабораторной работы

  4.1 Собрать схему, изображенную на рис. 3.7.

 

 Рис. 3.7,а Рис. 3.7,б

Изменяя параметры схемы R и C, наблюдать по экрану осциллографа, как эти изменения влияют на кривую напряжения разряда.

4.2 Постоянная времени определяется по кривой разряда, наблюдаемой на экране осциллографа, при определенных фиксированных значениях емкости и сопротивления.

Время, в течение которого переключатель П находится на контакте 2, достаточно для того, чтобы разряд конденсатора закончился. В положении переключателя 1 конденсатор практически мгновенно вновь заряжается до напряжения источника. Процесс повторяется с частотой, определяемой частотой переключения поляризованного реле, и при регулировании развертки осциллографа можно добиться изображения на экране только одного процесса, картинки, подобной рис. 3.8.

 

 Рис. 3.8

Напряжение на конденсаторе уменьшается по апериодическому закону

.

Приняв за 0 точку a, имеем

 uC(0)=E=mU× ab, ( 3.10 )

где mU -масштаб напряжений на осциллографе. В точке c, то есть при t=Dt, имеем

 = mU×cd.  ( 3.11 )

Поделив (3.10) на (3.11), получим .

Откуда , ( 3.12 )

Таким образом, для определения постоянной времени необходимо, задавшись интервалом D t на экране осциллографа (несколько клеток по горизонтали), измерить соответствующие отрезки ab и cd, затем выполнить расчет t по формуле (3.12).

Расчетное (теоретическое) значение  t = RC.

 4.3 Собрать схему цепи, изображенной на рис. 3.9, установив индуктивную катушку с известной индуктивностью и активным сопротивлением.

 

 Рис. 3.9, а Рис. 3.9, б

Изменяя параметры схемы R и C, наблюдать по экрану осциллографа, как эти изменения влияют на кривую напряжения разряда. Обратите внимание на изменение характера процесса (апериодический или колебательный) при сопротивлении большем и меньшем, чем Rкр=2

 4.4 Зафиксировав параметры цепи, при которых явно имеет место колебательный процесс, по осциллограмме (примерный ее вид представлен на рис. 3.10) необходимо определить угловую частоту w и затухание d.

 

 Рис. 3.10

Угловая частота вычисляется как w=2p/T, где T-период колебаний, определяемый непосредственно по осциллограмме, а затухание вычисляется как d=1/t, где постоянная времени t определяется аналогично опыту с процессом первого порядка, то есть по формуле (3.12), в которой в качестве Dt следует взять период T.

 Соответствующие расчетные (теоретические) значения:

 , и , где  ( 3.13 )

 4.5 Для проверки 2-го обобщенного закона коммутации собрать схему, изображенную на рис. 3.11.

 

 Рис. 3.11, а Рис. 3.11, б

  В опыте используются две батареи конденсаторов. Установить значения емкостей C1 и C2. Рассчитать начальное значение напряжения по формуле

 

и постоянную времени процесса

  t=R(C1+C2).

Снять осциллограммы напряжений uC1 и uC2. По ним определить начальное значение uC(0) и постоянную времени и сравнить с расчетом.

5 Содержание отчета

 5.1 Электрические схемы опытов.

 5.2 Расчетные формулы и результаты расчетов.

 5.3 Осциллограммы, выводы.

6 Контрольные вопросы

 1) Сформулируйте законы коммутации.

 2) Сформулируйте обобщенные законы коммутации.

 3) Что такое принужденная и свободная составляющие токов и напряжений в переходном процессе?

 4) Как по корням характеристического уравнения определить характер переходного процесса.

 5) Запишите выражение для свободной составляющей тока при апериодическом, критическом и колебательном процессах.

 6) Объясните энергетический процесс при разряде конденсатора .

 7) Как определить собственную частоту и волновое сопротивле­ние контура через его параметры?.

 8) Объясните, почему при апериодическом разряде напряжение на индуктивности в момент t=tкр имеет нулевое значение, а при t=2tкр наступает его отрицательный максимум?

 9) Как угловая частота и затухание при колебательном разряде зависят от параметров цепи R, L, C ?

 10) Что такое постоянная времени переходного процесса ?

Рекомендуемая литература

 1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М.: Высшая школа, 1996.

 2. Кривенцев В.И., Артеменко Ю.П. Переходные процессы в авиационных электрических системах. - М.: МГТУГА, 1996.

 3. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. - М.: Солон-Р, 1999


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов