Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad О Юрие Шрамко

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Законы коммутации

Название закона

Формулировка закона

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

В любой цепи с катушкой индуктивности, сцепленный с ней магнитный поток и проходящий по ней ток не могут изменится скачком. В момент коммутации и после нее ток и магнитный поток равен току и магнитному потоку, которые были в предшествующем режиме, т.е. перед коммутацией.

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

В любой цепи с конденсатором заряд и напряжение на емкости не могут изменится скачком. В момент коммутации заряд и напряжение равно заряду и напряжению, которые были в предшествующем режиме, т.е. перед коммутацией.

Более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы, представленные на рис. 1.1 а, б. Переходные процессы, возникающие в них, относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

а)

б)

Рис. 1.1 Электрические схемы:

а) с конденсаторами; б) с катушками индуктивности

Так, при переводе ключа из положения 1 в положение 2 (рис. 1.1, а), трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного   напряжения в конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа: .

Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 1.1,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

При анализе переходных процессов необходимо знать начальные условия, т.е. значения токов и напряжений на отдельных участках цепи в момент коммутации. Они могут быть зависимыми и независимыми. Независимыми начальными условиями называются значения токов в индуктивностях и напряжений на емкостях, которые были непосредственно перед коммутацией, и которые не изменили своих величин как в момент коммутации так и сразу после нее. Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для .

1.1.1 Общие принципы анализа переходных процессов

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом сводится к составлению и решению системы уравнений, записанных на основе законов Кирхгофа для мгновенных значений электрических величин применительно к послекоммутационной схеме.

Уравнения, составленные на основании первого закона Кирхгофа для каждого независимого узла, имеют вид:

,

уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа для каждого независимого контура, имеют вид:

Таким образом, система уравнений, описывающая переходный процесс в сложной электрической цепи, состоит из (q—1) уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и из (р—q+1) уравнений — по второму закону Кирхгофа. Она является системой интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами rк , Lк , Mк и Cк.

Совместное решение этих уравнений относительно какого-либо переходного тока (напряжения) приводит к дифференциальному уравнению, n-ого порядка для искомой величины, которое в общем виде может быть написано:

 , (1)

где aк – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров электрической цепи;

f (t) – известная функция времени, определяемая приложен­ными напряжениями или э. д. с. источников.

Порядок этого уравнения равен числу независимых начальных условий для необъединяемых индуктивностей и емкостей эквивалентной послекоммутационной схемы. Так, например, для определения порядка уравнения, описывающего переходный процесс в электрической цепи (рис. 1.2), производим замену данной цепи эквивалентной схемой (рис. 1.3). 

 

Рис. 1.2 Электрическая схема

В данной схеме индуктивности неразветвленного участка объединяются в эквивалентную индуктивность L1 = Ll' + L1"±2M (в зависимости от способа включения катушек), а эквивалентная емкость участка равна:

.

В эквивалентной схеме имеется две необъединяемых индуктивности и одна емкость, т. е. число независимых начальных условий равно трем. Поэтому порядок дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс в цепи (рис. 1.2), также равен трем.

Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (1) сводится к нахождению общего интеграла его, который определяет закон изменения рассматриваемого тока (напряжения) во времени в течение переходного процесса.

Как известно из математики, общий интеграл неоднородного ли­нейного дифференциального уравнения может быть представлен в виде суммы, состоящей из частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения такого же дифференциального уравнения без свободного члена, т. е. однородного уравнения.

Рис. 1.3 Электрическая схема

Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения выражает принужденный режим работы цепи inp (t) имеющий место после окончания переходного процесса, т. е. для момента времени t=∞. Принужденный режим определяется характером эдс (напряжения) источника питания и параметрами послекоммутационной схемы.

Если в послекоммутационной схеме действуют постоянные или гармонические эдс, то принужденный режим одновременно будет и установившимся. Установившиеся процессы рассчитываются методами, принятыми для расчета цепей постоянного или переменного токов.

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения выражает свободный режим работы цепи iсв(t) при переходном процессе. Свободный ток iсв определяется из уравнения:

.

Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

.

Если характеристическое уравнение не содержит сопряженных комплексных корней, то общее решение имеет вид:

  , (2)

где А1, А2,….., Аn – постоянные интегрирования;

  p1, p2……, рп – корни характеристического уравнения; 

 е – основание натурального логарифма.

 При наличии сопряженных комплексных корней, например, р12=-а± jω, в общем решении удобнее соответствующую пару экспонент заменить функцией

  , (3)

где А и θ – постоянные интегрирования, заменившие постоянные А1,и А2;

 α – коэффициент затухания.

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения описывает поведение цепи в продолжение переходного процесса при отсутствии в цепи внешних источников энергии. Возникающий при этом свободный режим является следствием наличия запаса энергии в электрических и магнитных полях отдельных элементов. Причем количество запасенной энергии определяется начальными условиями.

Так как все реальные электрические цепи обладают сопротивлениями, на которых происходит рассеяние энергии, то свободный режим всегда является затухающим и продолжается он до тех пор, пока весь запас энергии не будет полностью израсходован. После этого в цепи наступает принужденный режим.

Поскольку скорость затухания свободного, режима зависит от интенсивности рассеяния энергии на сопротивлениях, то измене­нием параметров цепи можно регулировать как продолжительность свободного, так и переходного процессов.

Так как закон изменения свободной составляющей зависит от параметров электрической цепи, то при наличии в цепи помимо сопротивлений или одних индуктивностей или одних емкостей свободные составляющие токов или напряжений всегда затухают по показательному закону. Если же в цепи имеются, и индуктивности и емкости, то при определенном соотношении параметров возможно появление затухающих колебаний, при которых энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля и наоборот.

Общий интеграл неоднородного линейного дифференциального уравнения (1), определяющий действительный ток в цепи при переходном процессе, может быть записан:

   (4)

Такое разложение действительных токов (напряжений) на принуж­денную и свободную составляющие является расчетным приемом, облегчающим анализ переходных процессов. В реальных цепях имеют место только одни действительные токи (напряжения).

В состав общего интеграла (4) входят постоянные интегри­рования А1 А2,…,Ап, число которых равно порядку дифференциального уравнения.

Для определения постоянных интегрирования производится расчет предшествующего режима работы цепи и определяются все токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, которые имеют место непосредственно перед коммутацией, т.е. iL,(0) и uс,(0).При числе постоянных больше одной, что имеет место при дифференциальных уравнениях второго и больших порядков помимо начальных значений iL (0) и ис (0) необходимо определить еще величины производных от токов и напряжений также в момент коммутации, т. е.:

Затем производится расчет принужденного режима послекоммутационной схемы, для которого определяются значения токов индуктивностях и напряжений на емкостях, а также их производных во времени в момент коммутации, т. е.:

Затем составляется система n-уравнений, позволяющая определить как начальные значения свободных токов (напряжении) и их производных, так и все постоянные интегрирования.

Подставляя в эту систему уравнений значения предшествующих (начальные условия) и принужденных токов (напряжений), а так же их производных в начальный момент времени и значения корней характеристического уравнения, находим все постоянные интегрирования А1, A2…, Ап.

После этого постоянные интегрирования подставляются в уравнение (4) и определяются законы изменения действительных токов в электрических цепях при переходных процессах.

Основной трудностью классического метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях является определение постоянных интегрирования по заданным начальным условиям.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов