Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Переходные процессы в неразветвленных электрических цепях с сопротивлением и индуктивностью

Общий анализ переходного процесса в цепи r, L

Будем полагать, что цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивлений r и индуктивности L (рис. 1.4), подключается к источнику с эдс e(t).

Рис. 1.4. Электрическая схема

Переходный процесс в цепи после подключения ее к источнику описывается неоднородным линейным дифференциальным уравне­нием первого порядка:

 , (5)

где e(t) - эдс источника, в общем случае являющаяся некоторой функцией времени;

i – мгновенное значение тока в цепи.

Согласно (4), общее решение этого уравнения может быть записано:

  (6)

Принужденный ток inp зависит от вида приложенной эдс и параметров цепи iпр =F[e(t), r , L]. Поэтому определение его будет выполнено ниже, при рас­смотрении конкретных режимов работы цепи.

Свободный ток iсв определяется общим решением одно­родного линейного дифференциального уравнения:

 

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид:

r + pL = 0,

 

 а корень характеристического уравнения равен:

.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда имеет только один отрицательный действительный корень.

Общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка (7) может быть записано:

 . (7)

Уравнение свободного тока (7) графически изображается затухающей кривой—экспонентой (рис. 1.5), у которой при t = 0 ордината равна постоянной интегрирования А.

Уменьшение свободного, тока в цепи происходит тем быстрей, чем больше отношение сопротивления к индуктивности. Это отношение r/L = называется коэффициентом затухания. Коэффициент затухания численно равен корню характеристического уравнения.

Величина, обратная коэффициенту затухания , называется постоянной времени цепи. Свое наименование она получила потому, что единицей измерения ее является единица времени – секунда:

.

Постоянная времени является таким временем, по прошествии которого, начиная с произвольного момента времени t, свободный ток уменьшится в е раз по сравнению с первоначальным значением его. Действительно, свободный ток в момент времени t+τ равен:

т. е. он в е раз меньше своего первоначального значения.

Если отсчет времени качать в момент t = 0, то:

Рис. 1.5. График зависимости тока от времени

Так как:  или , то графически постоянная времени цепи τ определяется длиной подкасательной в любой точке кривой свободного тока. Если за начало отсчета времени принято t = 0, то постоянная времени изобра­жается длиной подкасательной ОВ (рис. 1.5), которая равна:

Значения свободного тока в цепи, выраженные в процентах от его начального значения icв(0), могут быть определены для раз­личных моментов времени t, которые обычно берутся кратными постоянной времени цепи τ. Результаты такого расчета сведены в табл. 1.2.

Таблица 1.2

Результаты расчета

t

0

τ

100

36,8

13,5

5

1,8

0,67

0,25

0

Отсюда следует, что за время t= (3÷5)τ свободный ток в цепи почти полностью затухает. Следовательно, в большинстве инженерных расчетов можно считать, что за время (3÷5)τ переходный процесс практически заканчивается.

Так как продолжительность переходного процесса определяется постоянной времени, которая в свою очередь зависит от параметров цепи, то посредством изменения параметров можно регулировать продолжительность переходного процесса.

Из всего оказанного очевидно, что цепи с сопротивлением r и индуктивностью L являются инерционными цепями. Инерцион­ность цепи состоит в том, что при любом мгновенном изменении параметров цепи или приложенного напряжения ток в цепи изменяется постепенно, т. е. в своем изменении он отстает от напряжения.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов