Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Переходные процессы в неразветвленных электрических цепях с сопротивлением и емкостью

Общий анализ переходного процесса в цепи r, С

Будем полагать, что цепь, состоящая из последовательно соединенных сопротивления r и емкости С, подключается к источнику с эдс e(t), Переходный процесс в цепи после подключения ее к источнику описывается уравнением:

  (9)

Это уравнение удобно записать относительно напряжения на емкости , так как емкость дает независимое начальное условие. Имеем в виду, что ток в цепи равен:

и подставив значение тока в уравнение (9), получим:

  (10)

где, e(t) — эдс источника, в общем случае являющаяся некоторой функцией времени;

ис — действительное напряжение на емкости.

Последнее уравнение (10) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. По своей структуре оно аналогично уравнению (5), описывающему переходный процесс в цепи r, L. Поэтому и характер протекания переходных; процессов в обеих цепях одинаковый с той лишь разницей, что в цепи r, С определяется изменение на­пряжения на емкости uс, а в цепи r, L - изменение тока i.

Общее решение уравнения (10) может быть записано:

Принужденное напряжение uСпр зависит от вида приложенной эдс e(t) и параметров цепи. Поэтому определение его выполнено ниже при рассмотрении конкретных режимов работы цепи.

Свободное напряжение uСсв определяется из решения однородного линейного дифференциального уравнения: 

 (11)

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид:

,а корень характеристического уравнения равен:

Общее решение однородного дифференциального уравнения (11) может быть записано:

Аналогично цепи r, L зависимость свободного напряжения на емкости uСсв от времени изображается экспонентой с начальным значением, равным А, и коэффициентом затухания . Постоянная времени цепи r, С равна τ=rC. Постоянная времени цепи также измеряется в секундах.

.

Таким образом, общее решение уравнения может быть записано:

Отсюда нетрудно определить и закон изменения тока в послекоммутационной схеме во время переходного процесса:

  (12)

Включение под постоянное напряжение цепи с сопротивлением и предварительно заряженным конденсатором

Предположим, что под постоянное напряжение U включается цепь с сопротивлением R и конденсатором с емкостью С, который предварительно заряжен до напряжения Uo. Это напряжение направлено навстречу внешнему, а по величине оно меньше, чем напряжение источника (U0<U).

В предшествующем режиме имеет место ненулевое начальное условие ис (0) = Uo, а принужденное напряжение на емкости после окончания переходного процесса равно напряжению источника (uCnp = U).

Переходный процесс в послекоммутационной схеме опи-­
сывается уравнением:

Общее решение его равно:

Постоянная интегрирования определяется из начального условия: 

  или 

Окончательно закон изменения напряжения на емкости:

Ток в послекоммутационной схеме:

Графики изменения uc(i) и i(t) приведены на рис. 1.7:

Рис. 1.7. График изменения напряжения на конденсаторе и зарядного тока во времени

 

 

 

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом

Сущность операторного метода заключается в том, что функции  вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция  комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

1.2.1 Прямое и обратное преобразование Лапласа

Изображение  заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

(13)

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

Функция вещественного переменного оригинал определяется при помощи обратного преобразования Лапласа:

  Следует отметить, что если оригинал  увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (13) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1.4 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1.4 

Изображения типовых функций

  Оригинал

А

  Изображение  

Некоторые свойства изображений:

Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:

*

С использованием этих свойств и данных табл. 1.4, можно показать, например, что:

*

В курсе математики доказывается, что если *, то *, где  - начальное значение функции .

Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать:

* 

или при нулевых начальных условиях:

*

Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности:

Аналогично для интеграла: если *, то 

  *.

С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

Тогда: *

или при нулевых начальных условиях: *,

откуда операторное сопротивление конденсатора:  


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов