Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Закон Ома в операторной форме:

Выделим  ветвь m-n (рис. 1.8) из некоторой сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

Рис. 1.8. Электрическая цепь

Для мгновенных значений переменных можно записать:

Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

Отсюда:

(14)

где:

– операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

Уравнение (14) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви можно изобразить операторную схему замещения, представленную на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Операторная схема замещения

Законы Кирхгофа в операторной форме:

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю.

.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура.

.

Рис. 1.10. Электрическая схема

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде:

.

В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 1.9 для двух случаев: 1 –; 2 –.

В первом случае в соответствии с законом Ома:

Рис. 1.11. Электрическая схема

Тогда:

и  .

Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 1.10 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 1.11. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

;

,

Откуда:

,

,

.

Переход от изображений к оригиналам:

Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

Посредством обратного преобразования Лапласа:

,

которое представляет собой решение интегрального уравнения (13) и сокращенно записывается, как: .На практике этот способ применяется редко.

2.По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями:

Рис.1.12. Электрическая схема

В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

Например, для изображения тока в цепи на рис. 1.12 можно записать:

.

Тогда в соответствии с данными табл. 1.3:

,

что соответствует известному результату.

3. С использованием формулы разложения:

Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов:

,

Где m <n.

Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей:

 (15)

где рк- к-й корень уравнения .

Для определения коэффициентов Ак умножим левую и правую части соотношения (15) на (р- рк):

.

При :.

Рассматривая полученную неопределенность типа 0/0 по правилу Лапиталя, запишем:

.

Таким образом,

.

Поскольку отношение  есть постоянный коэффициент, то учитывая, что *, окончательно получаем:

(16)

Соотношение (16) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения   равен нулю, т. е. , то уравнение (16) сводится к виду:

.

В заключение необходимо отметить, что для нахождения начального   и конечного  значений оригинала можно использовать предельные соотношения которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения:

;

.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов