Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Примеры решения задач

Примеры расчета переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом

Задача 1. Цепь (рис. 2.1, а) с R1 = 10 и R2 = 25 0м; L2 = 0,2 Гн; R3 = 50 Ом; L3 = 0,1 Гн с помощью рубильника S подключается к источнику с U = = 200 В.

Определить законы изменения и построить графики токов в ветвях цепи.

Решение:

Для определения токов в ветвях цепи составляем систему уравнений Кирхгофа: 

(17)

 (18) 

(19)

 

а)

б)

Рис. 2.1

а) электрическая схема, б) графическая зависимость тока от времени

Эти системы решаем относительно тока i2. Из уравнения (19) определяем ток i3 = i1–i2 и подставляем его в (18):

   (20)

Решив уравнение (17) относительно тока i1:

  (21)

находим его производную:

  (22)

После подстановки уравнений (21) и (22) в (20) и дальнейшего преобразования получим:

  (23) 

или

  (24)

Общее решение этого уравнения:

i2 = i2пр + i2св.

Принужденный ток определяется как:

i2пр=

Свободный ток i2св определяется решением однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

р2 + 775р + 100 000 = 0,

корни р1,2 = – 387,5 ± = – 387,5 ± 223,46.

Отсюда:

р1 = – 163,5 1/с; р2 = – 611,5 1/с.

Следовательно,

i2св = A1е-163,57t +A2e-611,5t

и действительный ток:

 i2 = 5 + А1е-163,5t + A2e-611,5t. (25)

Решив совместно уравнения (18) и(19) относительно тока i3 и использовав уравнение:

после преобразований, аналогичных рассмотренным, получим:

  (26)

или

  (27)

Действительный ток:

  (28)

В уравнения (28) и (25) входят четыре постоянных интегрирования А1, А2, В1, В2. Для их определения используем два независимых начальных условия:

 i2(0)=0=5 + A1+A2; (29)

 i3 (0) = 0 = 2,5 + B1 + B2. (30)

Дополнительные два начальных условия получаем исходя из того, что i1 (0) =0. Поэтому в момент включения цепи к зажимам катушек будет приложено напряжение, равное на­пряжению источника. А уравновешено оно будет ЭДС само­индукции, которые наводятся в катушках:

или

  0,2(–163,5А1–611,5А2) = –32,7А1– 122А2 = 200; (31)

 0,1 (–163,5В1 – 611,5В2) = – 16,35В1–61,15В2 = 200. (32)

Решив совместно уравнения (29) и (31), найдем А1=4,59; А2 = –0,41, а из совместного решения (30) и (32) определим В1=–3,55 и В2=1,05.

Подставив постоянные интегрирования в уравнения (25) и (28), получим токи в ветвях:

i2 = 5 – 4,59e-163,5t –0,41e-611,5tA;

i3 = 2,5 – 3,55е-163,5t + 1,05e-611,5t A

и ток в неразветвленной части цепи:

i1 = 7,5 – 8,14е-163,5t + 0,64e-611,5t А.

Графики изменения токов в ветвях  цепи показаны на рис. 2.1,б.

Задача 2. Цепь с R1 = 20 и R2 = 30 Ом; R3 = 10 Ом и С3 = 50пФ, с помощью рубильника S подключается к источнику с U = 200 В (рис. 2.2, а).

а)

б)

Рис. 2.2

а) электрическая схема, б) графическая зависимость тока от времени

 

 

 

Определить законы изменения напряжения на конденсаторе и токов в ветвях цепи.

Решение. Чтобы найти напряжение uC и токи в вет­вях, составляем систему уравнений Кирхгофа:

i1= i2 + i3

R1i1 + R2i2 = U

R2i2 = R3i3 + UC

Ток в третьей ветви:

i3 = C3

Выразив токи i1 и i2 через напряжение uC и его  производную, получим:

 

Подставим их во второе уравнение системы:

или

Общее решение уравнения:

uC= uC пр + uC св.

Принужденная составляющая напряжения:

uC св== 120 В.

Свободная составляющая напряжения:

uC св=,

где р – корень характеристического уравнения, р= – 9,09 х 108 1/с.

Действительное значение напряжения:

uC = 120 +.

Постоянная интегрирования А определяется с помощью начального условия uC(0) = 0 = 120 + A; А= – 120.

Тогда:

uC = 120 (1– ) В.

Токи в ветвях цепи:

Графики изменения напряжения токов в ветвях приведены на рис. 2.2,б.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов