Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad https://shelyaeva.wordpress.com/

Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях операторным методом

Задача 1. Цепь (рис. 2.3) с R1 = 15 Ом и R2 = 60 Ом; L2 = l Гн; R3  = 20 Ом; L3 = 2 Гн подключается к источнику U=150 В.

Определить законы изменения токов в ветвях цепи после ее включения.

Рис. 2.3. Электрическая схема

Решение. 

Находим операторное сопротивление:

Операторный ток:

Ток i1(t) определяем с помощью теоремы разложения:

F2 ()=p2 + 92,5 p + 1200 = 0;

p2,3 = – 46,25 = – 46,25  30,64;

p1,= 0; p2 = – 15,6 1/с; р3 = – 76,89 1/с;

F1( ) = 75 (3p+ 80); F2 (О) = 1200;

F1(0) =6000; F`2 () = 2p + 92,5;

F1 (2) = 75 [3(–15,6) + 80] = 2487,8;

F`2 (2)= 2 (–15,61)+ 92,5 = 61,28;

F1 (3) = 75 [3 (–76,89) + 80] = –11 300;

F`2(3) =2(–76,89) + 92,5 = – 61,28;

Операторный ток во второй ветви:

F1() =75(2p+20); F1(0)=1500;

F1(2) =75(2(–15,61)+20)=–841,5;

F1(3) =75(2(–76,89)+20)=–10033,5.

Токи во второй и третьей ветвях:

Задача 2. Цепь (рис. 2.4) с R1 = 80 и R2 = 100 Ом; С2 = 50 мкФ; R3 = 50 Ом; С3 = 25 мкФ подключается к источнику с U = 500 В.

Определить законы изменения токов в ветвях цепи.

Рис. 2.4. Электрическая схема

Решение. 

Находим операторное сопротивление цепи:

Операторный и действительный токи в первой ветви:

F2 () = p2+576,5p+47*103=0;

p1 = –98 1/c; p2= –478 1/c;

F1() = 4,41(p+400); F`2()=2p+576,5;

F1(1) = 1332; F`2(1)=380,5;

F1(2) = –344; F`2(2)= –380,5;

Операторный и действительный токи во второй и третьей ветвях:

F 1() = 1,47(p+800); F1(1) = 1032; F2(2) = 473,3.

Общие сведения о переходных процессах

В устройствах производства, передачи и преобразования электрической энергии, в установившемся режиме, токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или сохраняют неизменные значения. Всякое изменение топологии цепи или параметров входящих в нее элементов нарушает характер токов и напряжений, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся.

Любое изменение режима работы электрической цепи (включение, выключение, переключение каких-либо элементов) называется коммутацией, считается, что она происходит мгновенно. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными.

Во время переходных процессов величины токов в отдельных ветвях и напряжения на отдельных элементах могут в несколько раз превышать значения, соответствующие установившемуся режиму.

При расчете переходных процессов начало отсчета времени переходного процесса совмещают с моментом коммутации, причем через  обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через  – момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).

При рассмотрении переходных процессов исключается электрическая дуга, которая возникает при включении и выключении. Чтобы исключить влияние электрической дуги будем считать, что ключ замыкается или размыкается мгновенно, и в момент  коммутация уже произошла.

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно, только если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, из этого следуют два закона коммутации.

Первый закон коммутации: ток в ветви, содержащей катушку индуктивности, а также магнитный поток, возникающий в результате изменения тока, при коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации.

Второй закон коммутации: напряжение и заряд на конденсаторе при коммутации сохраняют те значения, которые они имели до коммутации.

Математически законы коммутации можно записать следующим образом:

;

.

Законы коммутации могут не выполняться в цепях, имеющих узлы с ветвями, содержащими только емкости и источники тока, или контуры с ветвями, содержащими только индуктивности и источники напряжения. Коммутация в таких цепях называется некорректной.

Определение начальных условий при некорректной коммутации производят, используя принцип непрерывности магнитного потока и закон сохранения электрического заряда.

Принцип непрерывности магнитного потока – магнитный поток сквозь произвольно замкнутую поверхность равен нулю: . В линейных электрических цепях магнитный поток L-элемента определяется потокосцеплением, поэтому можно записать: .

Закон сохранения электрического заряда – алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе: .

Основными методами анализа переходных процессов в линейных цепях являются:

1) классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи;

2) операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам;

3) частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза;

4) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия;

5) метод переменных состояний, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в форме Коши.

В настоящем пособии рассматриваются первые три метода анализа переходных процессов, возникающих в линейных электрических цепях.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов