Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

В основе классического метода расчета переходных процессов в электрических цепях лежит составление интегрально-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляют для схем, полученных после коммутации, основываясь на известных методах расчета электрических цепей, таких как метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов. Решение полученной системы уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода.

При этом падение напряжений в активных сопротивлениях r и на реактивных элементах: конденсаторе C и катушке индуктивности L определяются соответственно:

,

  ,

.

Учитывая, что решение дифференциальных уравнений проще интегрально-дифференциальных, полученную систему сводят к одному дифференциальному уравнению относительно выбранной переменной.

Порядок дифференциального уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением:

,

где  и   – число катушек индуктивности и конденсаторов соответственно после указанного упрощения исходной схемы;  – число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки);  – число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Обозначим искомую функцию времени (напряжение, ток, потокосцепление и т. п.) через x = x(t), тогда дифференциальное уравнение m-го порядка, описывающее переходный процесс в электрической цепи, находящейся под воздействием источника f(t), имеет вид:

,  (1)

где b0, b1, ..., bm-1, bm – коэффициенты, зависящие от параметров цепи (в дальнейшем будем рассматривать цепи только с постоянными параметрами); f(t) – функция, описывающая характер воздействия на цепь.

Дифференциальное уравнение (1) относится к линейным неоднородным уравнениям m-го порядка. Как известно из курса высшей математики, его решение есть сумма общего решения xсв однородного дифференциального уравнения m-го порядка:

и частного решения xпр уравнения (1)

х = хсв + хпр.

Частное решение данного неоднородного уравнения, получаемое с учетом внешнего воздействия , называется принужденной составляющей решения хпр и определяется из соотношений для установившегося режима данной цепи после коммутации.

Общее решение однородного уравнения определяет процессы, которые протекают в цепи без участия внешнего воздействия , и называется свободной составляющей хсв. Вид свободной составляющей переходного процесса определяется числом и значениями корней характеристического уравнения:

= 0.

В случае, когда корни  характеристического уравнения вещественные и различные, решение имеет вид:

,

где А1, А2, …, Аm – постоянные интегрирования, которые находятся из начальных условий задачи.

В случае, когда корни уравнения – вещественные и равные, т. е.
p1 = p2 = …pm = p, свободная составляющая определяется уравнением:

.

Если корни комплексно-сопряженные , тогда решение имеет вид:

,

где А и  – постоянные интегрирования, определяемые также из начальных условий задачи.

В табл. 1 обобщены данные для определения свободных составляющих дифференциального уравнения m-го порядка.

Таблица 1

Выражения для свободных составляющих

общего решения неоднородного дифференциального уравнения

Вид корней

характеристического уравнения

Выражение

для свободной составляющей

Корни  вещественные и различные

Корни  вещественные и  (n < m)

Пары комплексно-сопряженных корней

Примечание.  – постоянные интегрирования.

Начальные условия задачи определяют значения токов в индуктивностях   и напряжений на емкостях  в момент коммутации. В зависимости от начального энергетического состояния цепи различают два типа задач расчета переходных процессов: задачи с нулевыми начальными условиями, когда непосредственно в момент коммутации ;  и задачи с ненулевыми начальными условиями, когда   и (или) .

Нулевые и ненулевые значения начальных условий для тока в катушке индуктивности   и напряжения на конденсаторе  называются независимыми. Для определения независимых начальных условий в цепи до коммутации (t = 0–) любым известным способом рассчитываем токи в индуктивностях и напряжения на емкостях. Согласно законам коммутации полученные значения и будут являться независимыми начальными условиями. Начальные условия остальных токов и напряжений называются зависимыми. Чтобы определить их, для цепи, образованной после коммутации, составляют уравнения Кирхгофа и записывают эти уравнения для момента коммутации   с учетом законов коммутации. Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно искомых величин при .

Если число корней характеристического уравнения больше одного, то необходимо иметь не только начальные условия искомой переменной, но и ее производных. При этом порядок производных, начальное значение которых необходимо знать, на единицу меньше числа корней характеристического уравнения. Для определения производных при  уравнения Кирхгофа дифференцируют и решают совместно для .

Данный метод применяют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. При более высоких порядках определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой сложный процесс.

2.2. Практическое занятие № 1.

Переходные процессы в электрических цепях.

Определение начальных условий

и принужденных составляющих токов и напряжений

Цель: получить навыки определения начальных условий и установившихся токов и напряжений, построения временных зависимостей токов и напряжений на основе качественного анализа цепи.

Порядок проведения занятия

Контроль знаний основных теоретических положений по расчету переходных процессов, изложенных на лекции и в учебниках [1–4].

Решение типовых задач совместно со студентами.

Самостоятельное решение каждым студентом индивидуальных задач.

Контроль за самостоятельной работой студентов.

Обсуждение наиболее сложных вопросов и разбор типичных ошибок.

Проверка знаний основных теоретических положений

1. Сформулируйте законы Ома и Кирхгофа для электрической цепи.

2. Что вы понимаете под коммутацией в электрической цепи?

3. Назовите законы коммутации и запишите их математически.

4. Объясните следующие понятия: начальные условия задачи, нулевые и ненулевые начальные условия, зависимые и независимые условия.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов