Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Примеры для совместного решения со студентами типовых задач

Пример 3.1.

Рассчитать все токи в цепи и напряжение на конденсаторе после замыкания ключа (рис. 10), если U0 = 30 В; r = 100 Ом; С = 100 мкФ.

Решение

Система  уравнений, составленных по законам Кирхгофа для цепи после коммутации, имеет вид:

Сводим систему к одному уравнению.
За неизвестную величину примем напряжение , так как напряжение на ёмкости подчиняется закону коммутации

Учитывая, что , получим дифференциальное уравнение с одним неизвестным:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.  (2)

Его корень  с-1.

Решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Из приведенного примера видно, что составление дифференциальных уравнений – процесс трудоемкий, поэтому решение дифференциального уравнения можно записывать сразу, без составления самого уравнения, в виде суммы принужденной и свободной составляющих. Вид свободной составляющей определим по виду корней характеристического уравнения. Найдем корни характеристического уравнения, используя метод входного сопротивления (см. подразд. 2.3, практическое занятие № 2).

Запишем входное сопротивление цепи после коммутации. Для этого закоротим источник эдс и разомкнем ветвь, содержащую сопротивление r,

.

Приведем дробь к общему знаменателю:

.

Приравняем Z(р) к нулю (). Дробь равна нулю, когда числитель дроби будет равен нулю:

r(2rpC + 3) = 0 или 2rpC + 3 = 0.

Получим характеристическое уравнение, аналогичное уравнению (2). Его корень

 с-1.

Так, корень характеристического уравнения – один, он является действительным числом, следовательно, напряжение на конденсаторе будет изменяться по закону:

.  (3)

Принуждённое значение напряжения на ёмкости равно напряжению на резисторе 2r:

 В.

Постоянную интегрирования А найдем из уравнения (3), записанного для t = 0:

, так как согласно законам коммутации , то ; 30 = 20 + A; A = 10 B.

Напряжение на конденсаторе uC(t), В,

.

Ток i3(t), А, через конденсатор:

.

Ток , А, можно найти по закону Ома:

.

Ток в неразветвлённой части цепи i1(t), А, определим по первому закону Кирхгофа:

.

Пример 3.2.

В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 11, замыкается ключ. Требуется определить токи в ветвях и напряжение на индуктивности, если параметры элементов цепи имеют следующие значения: Е = 30 В,
r1 = r2 = r3 = 10 Ом, L = 0,1 Гн.

  Подпись: Рис. 11. Расчетная схема примера 3.2

Решение

Составим систему уравнений по законам Кирхгофа для схемы, полученной после коммутации

Выполнив взаимные подстановки и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение для тока в индуктивности

.

После подстановки в это уравнение значений параметров элементов, получим

.

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения состоит из двух частей , где принужденная составляющая тока определяется в установившемся режиме после коммутации и равна

 А.

Для определения свободной составляющей решим однородное дифференциальное уравнение

.

Решение этого уравнения имеет вид , так как характеристическое уравнение , откуда найдем  с-1. Модуль этой величины характеризует скорость уменьшения свободной составляющей тока и называется коэффициентом затухания. Величина, обратная коэффициенту затухания, имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи  с.

Таким образом,

.   (4)

При определении постоянной интегрирования А воспользуемся законом коммутации, согласно которому . Для вычисления тока  рассмотрим схему (рис. 12).

На этой схеме индуктивность заменена проводником с нулевым сопротивлением, поэтому ток в ней рассчитаем по методу эквивалентного генератора, преобразуя ветви с источником напряжения Е и сопротивлениями  к эквивалентному генератору с параметрами  и . Эквивалентное сопротивление генератора rэкв найдем как входное сопротивление двухполюсника

,

 Ом.

Схемы для определения и  представлены на рис. 13 и 14.

E

 

r1

 

После определения и  ток в индуктивности до коммутации определяется (рис. 15) по формуле

 А.

Подставив найденное значение в уравнение для полного тока в индуктивности при t = 0, получим

 А.

Окончательное решение

  Рис. 15. Схема для опре-

 деления iL(0_)

 
.

Напряжение на индуктивности uL, В, определим по формуле

.

Токи в сопротивлениях, А, определим по формулам:

,

.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов