Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Частотный метод расчета переходных процессов

В основу частотного (спектрального) метода положено интегральное преобразование Фурье. Этот метод нашел широкое применение при анализе реакции цепи на воздействие импульса тока или напряжения.

Сущность частотного метода заключается в представлении непериодической функции времени (тока или напряжения) в виде суммы бесконечного множества гармонических составляющих, отличающихся друг от друга по частоте, амплитуде, начальной фазе. При этом предполагается:

1) частота  принимает всевозможные значения от ;

2) синусоидальные составляющие на вход цепи поступили достаточно давно, и реакция цепи будет иметь установившейся характер.

Таким образом, задача расчета переходного процесса подменяется задачей расчета цепи в установившемся режиме при воздействии множества гармонических составляющих импульса.

Из курса высшей математики [9] известно, что любая абсолютно интегрируемая функция времени может быть вычислена в виде наложения бесконечного множества своих гармонических составляющих с помощью интеграла Фурье

.  (20)

Другими словами, интеграл Фурье дает разложение функции времени в непрерывный спектр.

В формуле (20) комплексная функция частоты F(jдает закон изменения комплексных амплитуд гармоник в зависимости от частоты и называется частотным спектром (спектральной плотностью, спектральной, частотной или амплитудно-фазовой характеристикой) заданной функции f(t) [1, 2] и вычисляется по формуле

.  (21)

Модуль частотного спектра F(), характеризующий зависимость амплитуды гармонических составляющих от частоты, называется амплитудно-частотной характеристикой. А аргумент частотного спектра , характеризующий зависимость начальной фазы гармоник от частоты, называется фазочастотной характеристикой.

Соотношения (20) и (21) называются соответственно обратным и прямым преобразованием Фурье и обозначаются F –1{F(j} и F{f(t)}.

Сравнивая прямое преобразование Фурье

с прямым преобразованием Лапласа

,

обратное преобразование Фурье

с обратным преобразованием Лапласа

,

можно сделать вывод, что преобразования Фурье являются частным случаем преобразований Лапласа и получаются из него при р = j.

Следовательно, частотный спектр F(jфункции f(t) совпадает с соответствующим изображением Лапласа при замене р на j. Это свойство позволяет по аналогии с операторным методом определять мгновенные значения токов и напряжений в цепи при подаче на вход импульса напряжения или тока.

Методика расчета переходных процессов частотным методом аналогична методике расчета операторным методом, изложенной в разд. 3.

В табл. 2 приведены законы Ома и Кирхгофа для частотных спектров (спектральная форма) и в операторной форме. В прил. 3 для некоторых наиболее употребляемых функций времени показаны их частотные спектры.

При расчете частотным методом используют следующие теоремы.

Теорема подобия. Пусть задана функция времени и известна ее частотная характеристика . Частотная характеристика новой функции времени f(kt), где k – постоянная, определится выражением .

Таблица 2

Законы Ома и Кирхгофа в операторной и спектральной формах

Закон

Операторная форма

Спектральная форма

Ома

Первый закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа

Следовательно, увеличение продолжительности импульса вызывает сжатие его частотной характеристики и уменьшение амплитуд гармонических составляющих.

Теорема запаздывания. Если , то .
Согласно этой теореме запаздывание функции на время t0 вызывает смещение фазочастотной характеристики функции на угол , но амплитудно-частотная характеристика не меняется.

Теорема смещения. Если , то . Это означает, что смещение частотной характеристики на  связано с умножением функции времени на .


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов