Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов

  Допустим, что имеем некоторую цепь, в которую включены источники питания, вырабатывающие электроэнергию с синусоидальной ЭДС или синусоидального тока одной частоты, а также приёмники (резисторы, катушки индуктивности, конденсаторы). Для того, чтобы экспериментально или теоретически изучить режим работы такой цепи (а может быть и область возможных режимов работы), необходимо, прежде всего, уяснить, каким образом представлять синусоидально изменяющиеся во времени параметры режимов работы этой цепи. Т.е., иными словами, в какой форме представлять синусоидальные напряжения, ЭДС или ток для того, чтобы с этими представлениями можно было удобно и наглядно проводить расчёты или измерения.

 Известно, что любую функцию можно представить в аналитической, графической и табличной формах.

 Широко распространенные ранее таблицы значений sin x (x изменяется от 0 до 90 угловых градусов) в настоящее время вытеснены в результате массового производства микрокалькуляторов. Поэтому табличное представление указанных величин в практике расчётов по электротехнике в настоящее время не используется.

 Как следует из определения, аналитическая форма представления указанных параметров режимов может быть записана в виде:

  (1)

 Для уяснения смысла всех параметров, указанных в (1), приведём графическую форму представления синусоидальных величин и сопоставим эти формы. На рис.1 приведен один из вариантов графической формы представления синусоидальных ЭДС, напряжений и токов (такую форму ещё называют волновой диаграммой указанных параметров).

Рис. 1.

– амплитудное значение ЭДС, напряжения и тока, т. е. максимальное по абсолютной величине значение синусоидального параметра режима работы, которое он может принимать в течение времени. Амплитудные значения измеряются в вольтах (В) или амперах (А) соответственно. По оси абсцисс на графике (рис.1) в качестве аргумента принято брать параметр , измеряемый в угловых градусах или радианах, пропорциональный времени .

  - начальная фаза колебаний ЭДС, напряжения и тока. Она показывает, какую величину составляет рассматриваемый параметр режима (, или ) в момент времени, принятый за начало отсчёта . Иными словами, начальная фаза определяет сдвиг графика синусоиды вдоль оси времени  относительно начала отсчёта. Если в момент  (начала отсчёта) рассматриваемая синусоидальная величина отрицательна, то её начальная фаза

,

в противном случае

.

Поэтому количественно начальная фаза  определяется вдоль оси абсцисс от ближайшего к началу координат нулевого значения синусоидальной величины при её переходе от отрицательных значений к положительным относительно оси абсцисс. Если начальная фаза положительна, то начало синусоидальной величины сдвинуто влево, в противном случае – вправо от начала координат. Так на рис.1 начальная фаза тока   - положительна; начальная фаза ЭДС  - положительна; кроме этого . Наконец, начальная фаза напряжения  - отрицательна. Начальная фаза измеряется в угловых градусах или радианах.

Аргумент синусоидальной величины  носит название фазы (фазы колебаний). Она измеряется в радианах или угловых градусах и показывает, в каком состоянии (фазе) находятся колебания напряжения, ЭДС или тока в данный момент времени. Как видно (рис.1), при различных значениях фазы колебания можно получить одинаковые значения функции.

Для того чтобы анализировать многозначные синусоидально изменяющиеся функции, их принято рассматривать на участке вдоль оси абсцисс с полным циклом изменения фазы колебаний. Такой участок называется периодом колебаний и определяется как минимальный промежуток времени (или минимальное расстояние вдоль оси абсцисс) между двумя одинаковыми значениями синусоидальной функции, находящимися в одной и той же фазе колебаний. Период  измеряют в секундах; для аргумента  период равен  радиан или 360º.

Величину, обратную периоду колебаний , называют циклической частотой колебаний

.

Циклическая частота  измеряется в герцах и показывает какое число полных циклов колебаний (или периодов) данной синусоидальной функции происходит в одну секунду.

Также важным параметром является угловая частота колебаний

  (радиан/секунда или угловые град./ секунда).

Весьма важным понятием в электротехнике является разность фаз , под которой понимают сдвиг графиков синусоидальных величин один относительно другого. Разность или сдвиг фаз, например, между синусоидальными напряжением и током одинаковой частоты (рис.1) можно определить как разность их начальных фаз

.

Аналогично определяют разность фаз между  и

.

Следует помнить, что поскольку начальная фаза есть величина алгебраическая, то разность фаз также величина алгебраическая. И ещё одно важное обстоятельство. Начальная фаза колебаний зависит от момента времени, принятого за начало отсчёта , в то же время разность фаз не зависит или говорят, инвариантна относительно начала координат, если частота синусоидальных функций, между которыми определяется , одинакова.

Как видно, аналитическая и графическая формы представления синусоидальных величин определяются сравнительно большим числом параметров, поэтому они не нашли применения в расчетах и используются преимущественно для наглядного представления результатов расчёта или измерения.

Необходимость оценки или измерения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов с помощью одного какого-либо параметра привела к появлению различных эквивалентов. Наибольшее распространение получило действующее значение синусоидального тока, которое является его тепловым эквивалентом и определяется такой величиной постоянного тока, который производит такой же тепловой эффект, что и оцениваемый синусоидальный ток, протекая через тот же  - элемент (с тем же сопротивлением), что и синусоидальный ток за одно и то же время. Если в линейной цепи действуют синусоидальные ЭДС, то действующее значение синусоидального тока определяется как

, (2)

где - действующее значение синусоидального тока; - амплитудное значение синусоидального тока. По аналогии определяются действующие значения синусоидального напряжения и ЭДС:

. (3)

Следует заметить, что этот эквивалент для синусоидальных напряжений и ЭДС не имеет конкретного физического смысла как для тока.

 Действующие значения синусоидального тока, напряжения или ЭДС нашли широкое применение в измерительной технике. Многие измерительные приборы (вольтметры, амперметры), используемые в электротехнических измерениях, проградуированы в действующих значениях напряжения и тока.

Несмотря на это, этот эквивалент не может однозначно описать указанные синусоидальные величины, поскольку ничего не говорит о фазе колебаний. Как будет показано в дальнейшем, одинаковые действующие значения синусоидального тока и напряжения при различной величине сдвига фаз между ними обеспечиваются различными энергетическими явлениями в цепи. Поэтому только использование действующего значения оказывается явно недостаточным при расчетах.

Попытки преодолеть указанные недостатки привели к представлению синусоидальных функций времени их изображением в виде вращающихся радиус-векторов в декартовой плоскости координат. На рис.2 представлен радиус-вектор , длина которого равна . Данный вектор вращается в декартовой плоскости координат против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью  и поворачивается за время одного оборота  на угол , т.е. . Положение радиус-вектора относительно оси  в момент начала отсчёта времени определяется углом . За отрезок времени  радиус-вектор повернётся на угол   и его положение относительно оси определится углом . За время  радиус-вектор переместится на угол  и займёт положение, определяемое углом  и т.д. Проекция вращающегося радиус-вектора на ось   в момент времени  определится выражением . Очевидно, при  величина вектора составит  (отрезок ) и т.д.

Рис. 2.

На этом же графике (рис.2) построена синусоида, мгновенные значения которой для любого момента времени  найдены как соответствующие проекции вращающегося радиус-вектора на ось  в тот же момент времени.

На основании приведённых построений можно утверждать, что между вращающимся радиус-вектором и некоторой синусоидальной функцией времени существует взаимно однозначное соответствие. А именно, любому равномерно вращающемуся радиус-вектору однозначно соответствует одна и только одна синусоидальная функция времени. И, наоборот, любая синусоидальная функция времени может быть условно изображена единственным однозначно соответствующим ей вращающимся радиус-вектором, длина которого численно равна амплитудному значению синусоиды, а начальное положение относительно оси  численно равно начальной фазе синусоиды.

Такое представление синусоидальных функций времени может быть использовано в расчётах цепей синусоидального тока.

Допустим, для некоторого узла электрической цепи по первому закону Кирхгофа можно записать уравнение:

или

.  (4)

При этом для и  известны аналитические выражения

  (5)

Путём элементарных тригонометрических преобразований можно показать, что сумма двух синусоид одинаковой частоты  представляет собой синусоиду той же частоты . Т.е. данный расчёт сводится к определению и в выражении

 (6)

  Если воспользоваться аналитическим представлением синусоидальных токов ,и , то искомые параметры можно получить с помощью известных тригонометрических преобразований:

,

.  (7)

 Как видно, решение задачи получается громоздким даже в том случае, когда суммируются только две функции, в то время как задачи электротехники очень часто требуют суммирования нескольких величин.

Ещё более громоздким и к тому же менее точным получается решение этой задачи, если её проводить для графического представления синусоидальных величин (рис.1). В этом случае необходимо предварительное построение графиков заданных токов и  как функции времени, затем с их помощью, путём суммирования ординат графиков и  для фиксированных моментов времени, построение графика тока . И, наконец, с помощью построенного графика определение и .

Проведём решение задачи с помощью радиус-векторов и , вращающихся с частотой  против часовой стрелки. На рис.3 показаны их положения для момента времени . Результирующий вектор , полученный сложением и  по правилу параллелограмма, будет также вращаться с частотой  и являться в свою очередь изображением некоторой синусоидальной функции времени.

Рис. 3.

 Учитывая, что

,

,

получим, что для модуля и начальной фазы  результирующего вектора справедливы соотношения (7). Следовательно,  является изображением искомого тока . Зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду тока . Непосредственно по чертежу (рис.3) определяется и начальная фаза . Следует обратить внимание на то, что если все вектора вращаются с одинаковой частотой, то со временем их положение друг относительно друга не изменяется. Поэтому, в принципе, безразлично в какой момент времени рассматривать указанную диаграмму векторов.

В электротехнике принято такие диаграммы строить для момента времени , т.е. принято считать, что графическим изображением синусоидальной электрической величины может служить и неподвижный радиус-вектор. Длина этого вектора равна (в выбранном масштабе) амплитудному значению синусоидальной величины, а угол относительно положительного направления оси абсцисс равен её начальной фазе. При этом направление движения векторов против часовой стрелки считается положительным, а по часовой – отрицательным. Аналогично определяется знак угла  радиус-вектора. Так на рис.3 все углы , ,  положительны.

Такую совокупность радиус-векторов, отображающих синусоидальные величины одной и той же частоты при , и учитывающую правильную ориентацию этих векторов по фазе, принято называть векторной диаграммой.

Расчёты с использованием изображающих векторов просты и наглядны, однако обладают существенным недостатком, присущим всем графическим методам, – ограниченной точностью.

В конце XIX века Ч. П. Штейнмецем и А.Е. Кеннели был предложен символический метод расчёта, основанный на представлении синусоидальных напряжений, токов и ЭДС в виде векторов на комплексной плоскости. Комплексные изображения позволяют совместить простоту и наглядность векторных диаграмм с возможностью проведения точных аналитических расчётов.

Некоторый вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости, перенесём на комплексную плоскость, для чего совместим ось x с осью действительных чисел, а ось y с осью мнимых чисел (рис.4). Если при замене координат мы сохраним все условия изображений, о которых было сказано выше, то такой перенос даёт возможность аналитического выражения радиус-вектора.

Комплексный вектор принято обозначать  в виде или , имея в виду, что  - его модуль, а  - его аргумент или фазовый угол. Известно, что любому вектору , расположенному на комплексной площади, однозначно соответствует комплексное число, которое может быть записано в трёх формах:

алгебраической

;

;  (8)

тригонометрической

   (9)

показательной

 (10)

Рис. 4.

Здесь символом  обозначена мнимая единица, - основание натурального логарифма, - действительная часть комплексного числа, - его мнимая часть. В соответствии с формулой Эйлера, все три формы равнозначны:

При суммировании комплексных чисел удобно использовать алгебраическую форму записи.

Например,

  (11)

При умножении или делении комплексных чисел удобна показательная форма записи.

Например,

  (12)

Если далее необходимо производить суммирование, то результаты (12) нужно представить в алгебраической форме, как указано в (8). Для этого существуют соотношения, определяющие переход от одной формы записи в другую. Например, имеем показательную форму представление комплексного числа

,  (13)

тогда компоненты алгебраической формы записи находятся так (см. рис. 4)

  (14)

. (15)

Необходимо помнить, что знак составляющих комплексного числа зависит от величины и знака угла. Если комплексный вектор задан в алгебраической форме

  (16)

тогда модуль и аргумент , как компоненты показательной формы записи, найдутся (см. рис.4)

;

.  (17)

Здесь также величина и знак  определяются знаками и . Отметим некоторые особенности и элементарные свойства комплексных чисел. В соответствии с соотношением Эйлера

  (18)

имеем

;

;

;

;  (19)

;

;  ; (20)

; ; .

Итак, любую синусоидальную функцию можно однозначно изобразить вектором на комплексной плоскости, который в свою очередь может быть однозначно выражен соответствующим ему комплексным числом. Очевидно, что это комплексное число является некоторым условным выражением исходной синусоидальной функции времени. Модуль комплексного числа, изображающего синусоидальную функцию времени, равен её амплитуде, а аргумент – начальной фазе.

При этом следует помнить, что данный метод расчёта применим для синусоидальных функций одной и той же частоты.

Действующие значения синусоидальных величин и их амплитуды измеряются известными величинами

; ; .

Комплексным векторам, однозначно изображающим синусоидальные величины, условно присвоены те же единицы измерения. Например,

где , , - комплексные амплитуды соответственно тока, напряжения и ЭДС.

Поскольку многие измерительные приборы проградуированы в действующих значениях синусоидальных то в расчётах используют также понятие комплекса действующего значения тока , напряжения  или ЭДС . Модуль комплексного действующего значения равен действующему значению синусоидальной функции времени, а аргумент – её начальной фазе. При этом

; ; .

Комплексам действующих значений синусоидальных  условно присвоены соответствующие единицы измерения.

.

Таким образом, ведение комплексных изображений синусоидальных   позволяет суммировать, вычитать, умножать и делить синусоидальные функции времени. При этом решение получается не только простым и наглядным, но также и точным. В заключение этого подраздела ещё раз отметим, что наиболее удобной формой представления синусоидальных функций времени при изменениях является их действующее значение. Поэтому многие измерительные приборы (амперметры, вольтметры) проградуированы в действующих значениях токов и напряжений. Наиболее удобной формой представления этих функций для расчётов является понятие комплекса действующего значения, который служит некоторым образом или символом однозначно соответствующей ему синусоидальной функции времени.

Основные законы цепей синусоидального тока

в комплексной форме записи

 Первый закон Кирхгофа. Имеем цепь, в которой действуют ЭДС напряжения и протекают токи синусоидальные по форме зависимости от времени, к тому же эти параметры имеют одинаковую частоту. Выделим произвольный узел, в котором сходится  ветвей и соответственно синусоидальных токов

………………………….;

В соответствии с первым законом Кирхгофа для данного узла можно составить уравнение в мгновенной форме записи

.  (21)

Учитывая установленное ранее взаимнооднозначное соответствие между синусоидальными токами и их изображениями на комплексной плоскости в виде комплексов действующих значений, сумму токов можно заменить суммой комплексных векторов

.  (22)

 Выражение (22) представляет собой одну из форм записи первого закона Кирхгофа в комплексной форме. Условно эту форму можно интерпретировать следующим образом. Алгебраическая сумма комплексов действующих значений синусоидальных токов в узле цепи равна нулю.

 Второй закон Кирхгофа. Выделим в указанной цепи некоторый контур в который включены  пассивных элементов () и  источников синусоидальной ЭДС. В соответствии со вторым законом Кирхгофа для данного контура можно записать

.

  Аналогичным образом, учитывая установленное ранее взаимнооднозначное соответствие между синусоидальными напряжениями, ЭДС и их изображениями на комплексной плоскости в виде комплексов действующих значений, сумму мгновенных значений этих параметров можно заменить суммой комплексных векторов

.  (23)

Выражение (23) представляет собой одну из форм записи второго закона Кирхгофа в комплексной форме. Условно эту форму можно интерпретировать следующим образом. Алгебраическая сумма комплексов действующих значений синусоидальных напряжений на пассивных элементах в любом контуре цепи равна алгебраической сумме комплексов действующих значений синусоидальных ЭДС в этом же контуре.

 Закон Ома. Выделим в некоторой цепи синусоидального тока участок, через который протекает синусоидальный ток , и к этому участку приложено синусоидальное напряжение . Учитывая взаимно-однозначное соответствие между этими синусоидальными параметрами и изображающими их на комплексной плоскости векторами, мгновенные значения этих параметров можно заменить комплексными векторами (комплексами действующих значений)

;

.

  Возьмем формальное отношение комплексных векторов

  Þ.

 Отношение можно интерпретировать как сопротивление указанного участка, поскольку численное равенство между действующим значением напряжения, тока и модулем соответствующего вектора соблюдается. Разность начальных углов векторов, численно равную разности начальных фаз напряжения и тока, можно интерпретировать как разность или сдвиг фаз . В таком случае

 (24)

или

.  (25)

 Выражения (24) и (25) определяют закон Ома в комплексной форме для пассивного участка цепи. В них  - комплексное сопротивление данного участка цепи,   - полное сопротивление этого участка (в литературе это сопротивление также обозначают как ). В соответствии с формами записи комплексную величину  можно представить в алгебраической

,

тригонометрической

или в показательной форме записи

.

В электротехнике составляющие комплексного сопротивления имеют специфические определения. Так, полное сопротивление участка цепи выражается через составляющие комплексного сопротивления

,

где  - определяется как активное сопротивление участка цепи,  - реактивное сопротивление этого участка. Угол , определенный как разность фаз между синусоидами напряжения и тока, в данном случае имеет еще дополнительное определение и обозначается как фазовый угол полного сопротивления

.

При вычислении  необходимо учитывать знаки составляющих комплексного сопротивления, которые определяют в какой четверти лежит этот угол.

 Возьмем противоположное формальное отношение

,

рассуждая аналогично, получим

.

Тогда выражение для закона Ома в комплексной форме будет иметь другой вид

,  (26)

где  - комплексная проводимость участка цепи;  - полная проводимость этого участка;  - угол сдвига фаз между синусоидами тока и напряжения, а также фазовый угол полной проводимости.

В соответствии с формами записи комплексную величину  можно представить в алгебраической

,

тригонометрической

или в показательной форме записи

.

В электротехнике составляющие комплексной проводимости тоже имеют специфические определения. Так, полная проводимость участка цепи выражается через составляющие комплексной проводимости

,

где  - определяется как активная проводимость участка цепи,  - реактивная проводимость этого участка, угол  определяется, например, так

.

При вычислении  необходимо учитывать знаки составляющих комплексной проводимости, которые определяют в какой четверти лежит этот угол.

 По аналогии записывается закон Ома для замкнутой цепи

,  (27)

где  - комплексное сопротивление нагрузки;  - комплексное внутреннее сопротивление источника ЭДС.

  Приведем формулу обобщенного закона Ома в комплексной форме записи

,  (28)

где  - напряжение на рассматриваемом участке цепи;  - количество источников ЭДС, включенных на этом участке;  - количество пассивных элементов на этом участке.

 ПРИМЕЧАНИЕ. Во всех формулах, отражающих законы цепей в комплексной форме, знаки слагаемых определяются по тем же правилам, что и для цепей постоянного тока [1,2]. О знаках комплексных сопротивлений будет сказано дальше.

 Величины  существуют реально (их можно измерить). В связи с чем они имеют свои размерности.

.

Комплексным величинам присвоены соответствующие единицы измерения условно.

.

  Еще раз напомним, что метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на использовании комплексных векторов, называется символическим. Его проводят в следующем порядке:

важным условием осуществимости этого метода расчета является линейность схемы замещения электрической цепи и одинаковая частота всех источников синусоидальных ЭДС, включенных в схему;

все заданные параметры схемы () и искомые параметры режима работы () представляют в комплексной форме записи (к сожалению, разность фаз и потенциал обозначаются одной и той же буквой );

используя законы цепей в комплексной форме, составляют систему расчетных уравнений относительно неизвестных комплексных параметров режима работы. Можно использовать любой из известных методов (метод законов Кирхгофа, метод наложения, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод двух узлов, метод эквивалентного генератора). Порядок составления уравнений и знаки слагаемых в уравнениях полностью отвечают использованию этих методов для цепей постоянного тока;

решая полученную систему уравнений, определяют неизвестные параметры режима работы (). При необходимости рассчитывают мощность или энергию на рассматриваемых участках цепи, используя закон Джоуля–Ленца;

при необходимости наглядной интерпретации результатов расчета строят так называемые векторные диаграммы, а также представляют рассчитанные параметры в виде синусоидальных функций времени в аналитическом или графическом виде.

Далее рассмотрим основы символического метода расчета. Начнем с рассмотрения элементарных моделей участков цепи.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов