Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad Купить квартиру в ялте зазеркалье жилищный комплекс в ялте.

Участок цепи с резистивным элементом

Резистивным (или R-элементом) называют такой элемент схемы замещения, который способен лишь безвозвратно потреблять электроэнергию, преобразуя её в неэлектрические виды энергии (например, в тепловую с рассеянием её в окружающее пространство). Другими энергетическими свойствами эта модель не обладает. Её реальными прообразами являются, например, нагревательные элементы электрической печи, лампы накаливания, а также специальные элементы электронных схем – резисторы. Однако эти прообразы обладают многими другими физическими свойствами, не являющимися для них основными, поэтому в модели эти свойства не учитываются.

Преобразование энергии на резистивном элементе происходит в результате того, что он оказывает сопротивление протекающему через него электрическому току. Количественной мерой такого сопротивления служит параметр резистивного элемента, обозначаемый  или  и называемый электрическим сопротивлением. Этот параметр измеряется в Омах (Ом). Для резистивного элемента его параметр , протекающий через него ток , и падение напряжения на выводах этого элемента (рис.5) связаны законом Ома

;  (29)

. (30)

Рис. 5.

Величина  - называется проводимостью резистивного элемента. Единицей измерения служит сименс (См). Если  и не зависит от  и , то резистивный элемент – линейный и как видно из (29), зависимость тока от времени будет подобна зависимости от времени напряжения. Мгновенная мощность для цепи с резистивным элементом

или, учитывая (29), получим

.

Мгновенная мощность, как скорость изменения электрической энергии на рассматриваемом участке цепи, измеряется в ваттах (Вт).

Пусть через резистивный элемент протекает синусоидальный ток:

, А.

Выберем (рис.5) положительные направления для и  совпадающими, тогда в соответствии с (29) можно записать

.  (31)

Из (31) видно, что .

Т.е. в цепи с линейным резистивным элементом при синусоидальном токе падение напряжения на этом элементе также синусоидально и совпадает по фазе с током (рис.6). Из (31) можно записать закон Ома для амплитудных и, учитывая, что   и , для действующих значений напряжения и тока:

.  (32)

Рис. 6.

Можно записать (32) в комплексной форме. Для этого перейдем от синусоидальных   и  к однозначно соответствующим им комплексам действующих значений

; .

Если , тогда

,

но согласно (32)

.

Следовательно,

или

  (33)

Соотношение (33) представляет собой закон Ома для участка цепи с резистивным элементом в комплексной форме.

Рис. 7.

Построим векторную диаграмму для данного участка цепи (рис.7). Построение начинаем с выбора масштабов по току  (А/см) и напряжению (В/см).

Затем строим заданный вектор тока. Для этого откладываем от оси   угол  в соответствии с его знаком (против часовой стрелки, т.к. , см. рис.6) и проводим луч . На этом луче ON в масштабе  откладываем отрезок длиной  (см) от т.0 ( - действующее значение тока). Другой конец отрезка обозначаем стрелкой. Вектор  построен. Поскольку , то вектор напряжения будет также лежать на луче . Для построения вектора  от т.0 в масштабе откладываем отрезок, равный (см), другой конец отрезка отмечаем стрелкой. Вектор  построен ( - действующее значение напряжения). На этом завершается построение диаграммы для данного участка цепи.

Рассмотрим энергетические процессы, протекающие в цепи с R-элементом.

Тот факт, что ток и напряжение в цепях синусоидального тока в течение периода изменяют своё направление на противоположное, не лишает смысла наличия стрелок положительных направлений (рис.5): истинное направление тока (напряжения) совпадает со стрелкой в те моменты, когда и противоположно стрелке, если . Важно то, что на линейном резистивном элементе напряжение и ток всегда совпадают по направлению.

Тогда мгновенная мощность  будет всегда величиной положительной (рис. 6), т.е. R-элемент только потребляет электрическую энергию от источника и преобразует её в другие неэлектрические виды. Определим зависимость

. (34)

 Т.о., с течением времени мощность колеблется с частотой   в пределах от  до  вокруг среднего значения, равного  (рис.6), и в любой момент времени .

Среднее значение мощности за период называют активной мощностью и обозначают буквой

  . (35)

С учётом (32) выражение (35) можно записать в виде

.  (36)

Активная мощность не только в цепи с R-элементом, но и в любой цепи характеризует работу, совершаемую на участке электрической цепи за период, т.е. определяет энергию , необратимо преобразующуюся в другие неэлектрические виды энергии. Используя (35), получим

.

  На рис.6 этой работе соответствует заштрихованная площадь, ограниченная кривой  и осью абсцисс. Единицей измерения активной мощности является ватт (Вт).

Участок цепи с индуктивным элементом

Индуктивным или -элементом называют такой элемент схемы замещения, который способен лишь запасать электрическую энергию и накапливать её в виде энергии собственного магнитного поля, а также при определённых условиях осуществлять обратное преобразование, отдавая всю накопленную энергию без остатка во внешнюю цепь.

Реальным прообразом этой модели может служить катушка индуктивности. Однако провод, из которого выполнена катушка индуктивности, обладает сопротивлением на постоянном токе. Кроме того, катушка индуктивности обладает и другими свойствами на переменном токе, которые не являются основными свойствами и в данной модели не учитываются. Индуктивный элемент на схемах обозначается

Из курса физики известно, что изменяющийся во времени ток создаёт в окружающем катушку пространстве переменное магнитное поле, которое может быть охарактеризовано, величиной, называемой потокосцеплением  ( - прописная буква «пси» греческого алфавита). Потокосцепление определяется как

,

где - магнитный поток, пронизывающий контур, ограниченный -тым витком катушки, а - число витков катушки. Потокосцепление , как и магнитный поток , измеряется в веберах (Вб). Переменный магнитный поток, пронизывая витки катушки, индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

(Закон электромагнитной индукции Фарадея – Ленца). (37)

Связь между током в катушке и её потокосцеплением определяется соотношением

,  (38)

где  - является количественным параметром, характеризующим способность катушки запасать энергию магнитного поля. Этот параметр называется индуктивностью и измеряется в генри (Гн). В соответствии с (37) и (38), если - постоянная величина, то

.  (39)

Все рассмотренные зависимости и явления, происходящие в катушке индуктивности, справедливы и для её идеализированной модели – индуктивного элемента. При протекании через него переменного тока на его концах возникает разность потенциалов, которая в любой момент времени уравновешивает

  (40)

Согласно определению -элемент безвозвратно электрическую энергию не потребляет (например, не рассеивает в виде тепла). Он лишь преобразует её и запасает в виде энергии собственного магнитного поля. Однако можно ввести понятие мощности индуктивного элемента, понимая под этим скорость преобразования в энергию магнитного поля. Т.е. мгновенную мощность -элемента можно определить

.  (41)

Энергия магнитного поля -элемента, накопленная к рассматриваемому моменту времени , определится с учётом (40)

,  (42)

где  - мгновенное значение тока в момент времени .

Пусть через индуктивный элемент протекает синусоидальный ток (рис. 8)

Рис. 8.

.

В этом случае потокосцепление -элемента

.

Согласно (39) и (40)

.

.  (43)

Т.о., при синусоидальном токе напряжение на L-элементе также синусоидально: напряжение и ток изменяются с одинаковой частотой; напряжение опережает ток по фазе на четверть периода

.

Угол сдвига фаз

.

Волновые диаграммы  и  приведены на рис. 9.

Из соотношения (43) имеем:

.

  Это есть закон Ома для амплитудных значений напряжения и тока. Для действующих значений этих величин закон Ома будет иметь вид

. (44)

 Величину , имеющую размерность Ом, обозначают и называют индуктивным сопротивлением -элемента. С учетом этого получим

;  . (45)

 


Рис. 9.

 Построим комплексную форму закона Ома на этом элементе. Для этого перейдем от  и  (как синусоидальных функций времени) к однозначно изображающим их комплексам действующих значений напряжения и тока

;

.

Возьмем формальное отношение

  (46)

Но из (44) следует

,

а из (19) получим

и окончательно

 . (47)

Это закон Ома в комплексной форме для участка цепи с L-элементом. Величина   называется комплексным сопротивлением индуктивного элемента. Оно является положительным мнимым числом, модуль которого равен . Векторная диаграмма для индуктивного элемента построена по соотношениям (43), (46) (рис.10). На диаграмме вектор напряжения на индуктивном элементе опережает вектор тока на угол . Векторы  и  находятся в противофазе, вектор потокосцепления   находится в фазе с током .

Рассмотрим энергетические процессы на участке цепи с L-элементом. Мгновенная мощность индуктивного элемента:

.  (48)

Т.е. мгновенная мощность в цепи с -элементом колеблется с частотой  и амплитудой  вокруг нулевого положения (рис.9).Поэтому среднее значение мощности за период равно нулю. Это ещё раз показывает, что -элемент безвозвратно электрическую энергию потребляет. Рассмотрим на волновой диаграмме (рис.9) процесс обмена энергией между -элементом и источником питания. В течение первой четверти периода изменения  (отрезок времени между точками 1 – 3 на рис.9) ток   и напряжение . Следовательно произведение ui >0, поэтому на этом участке , т.е. -элемент работает в режиме потребителя (нагрузки): электрическая энергия, поступающая от источника питания к элементу, преобразуется в энергию магнитного поля и накапливается -элементом (заштрихованная область над осью абсцисс на рис.9). В течение второй четверти периода (отрезок времени между точками 3 – 5) ток , а напряжение , поэтому , т.е. -элемент работает в режиме источника энергии. В этот промежуток времени происходит процесс обратного преобразования энергии магнитного поля в электрическую энергию, которая возвращается во внешнюю цепь. В момент времени, определяемый точкой 5 на рис.9, весь запас энергии возвращается L-элементом. Далее процесс повторяется при отрицательных значениях тока.

Рис. 10.

Т.о., в цепи с -элементом не совершается работа, а происходит периодический обмен энергией между источником и магнитным полем с частотой . Интенсивность этого обмена принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле, т.е. амплитудным значением мгновенной мощности, которое называют реактивной мощностью и обозначают . Как следует из (48)

.

С учетом (45) получим

.  (49)

Единице реактивной мощности присвоено название вольт-ампер реактивный, сокращённо ВАр.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов