Лабораторная работа по ТОЭ Расчет переходных процессов Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Некорректная коммутация Частотный метод расчета переходных процессов Использование программы Mathcad

Участок схемы с последовательным соединением R- и L-элементов

С помощью рассмотренных элементов можно изобразить линейную схему замещения любого электротехнического устройства. Например, катушку индуктивности на достаточно низкой частоте синусоидального тока можно представить следующей схемой замещения.

Рис. 14.

Допустим, что известно напряжение на зажимах катушки индуктивности

.

Положим ψu = 0, а также сопротивление Rк и индуктивность Lк. Необходимо определить остальные параметры режима её работы. Согласно 2 закона Кирхгофа для данной цепи можем записать уравнение для мгновенных значений напряжений

  (61)

или в дифференциальной форме записи

.  (62)

Из соотношения (62) видно, что для определения i(t) необходимо решить дифференциальное уравнение. Анализ можно упростить, если перейти к символическому методу расчета такого участка схемы. В комплексной форме уравнение (61) будет иметь вид

. (63)

Согласно (33) и (47) это уравнение можно записать

.  (64)

Поскольку элементы в схеме соединены последовательно, то через них протекает один и тот же ток. Тогда

.  (65)

Уравнение (65) связывает общее напряжение, приложенное к этой цепи, с током, протекающим в ней. Т. е. (65) есть закон Ома для данной цепи в комплексной форме. Величина

 (66)

измеряется (условно) в омах и называется полным комплексным сопротивлением участка этой цепи. Эту величину можно интерпретировать в виде векторов на комплексной плоскости.

Рис. 15.

 Действительная часть комплексного сопротивления z

называется активным сопротивлением цепи. Мнимая её часть

называется реактивным сопротивлением цепи. Треугольник, представленный z и её составляющими на рис.15, носит название треугольника сопротивлений. Соотношение (66) определяет алгебраическую форму представления комплекса z. В расчетах получила распространение показательная форма представления z

,  (67)

где  носит название модуля полного комплексного сопротивления или полного сопротивления участка цепи, измеряется в омах;  носит название аргумента комплекса или фазы полного комплексного сопротивления , измеряется в угловых градусах или в радианах. Для сторон треугольника (рис.15) справедливы соотношения

.

С учётом (65) и (66)можно определить вектор

.  (68)

 Поскольку xL > 0, то и φ > 0. Из (68) видно, что вектор тока  в такой цепи отстаёт от вектора  на угол . Определив из (68) вектор , можно определить падение напряжения на каждом элементе, используя ранее установленные формулы закона Ома для этих элементов

;  (69)

. (70)

Построим векторную диаграмму (рис. 16). Построение, как было сказано ранее, начинаем с выбора масштаба по току mi (А/см) и напряжению mu (В/см). Определим вектор   заданного напряжения. Его модуль , фаза ψu = 0, следовательно, вектор  располагается вдоль оси действительных чисел (+1). Откладываем от начала координат в положительном направлении оси +1 отрезок длиной U/mu (см) и его конец отмечаем стрелкой. Вектор  построен.

Рис. 16.

Далее строим вектор тока . Этот вектор, как было установлено, отстаёт от вектора  на угол φ, причём . Поэтому в IV четверти координатной плоскости проводим луч ОМ под углом  к оси +1 На этом луче от точки О откладываем отрезок (см). Его конец отмечаем стрелкой. Вектор  построен. Строим вектор . Как было установлено ранее, ток через R-элемент и падение напряжения на нём совпадают по фазе. Это подтверждают соотношения (68) и (69). Для векторной диаграммы это означает, что вектора совпадают по направлению. Поэтому на том же луче ОМ от точки О откладываем отрезок, равный (см), его конец отмечаем стрелкой. Вектор  построен. Наконец, строим вектор . Ранее было установлено, что падение напряжения на L-элементе опережает ток через этот элемент по фазе на 90º. Это подтверждают соотношения (68) и (70). Для векторной диаграммы данный вывод означает, что вектор  должен быть перпендикулярен вектору  и направлен в сторону оси +1 (поскольку разность фаз между  и  составляет +90º, а за положительное направление при повороте векторов в электротехнике принято направление против часовой стрелки). Из конца вектора  (точка К на рис. 16) восстанавливаем перпендикуляр к лучу ОМ в направлении оси +1. На перпендикуляре КN от точки К откладываем отрезок длиной, равной  (см). Конец этого отрезка отмечаем стрелкой. Вектор   построен. В случае верного построения всех векторов на данной диаграмме, конец вектора  совпадет с концом вектора . Т. е. сумма векторов  и  равна вектору , что является геометрической интерпретацией 2-го закона Кирхгофа для данной цепи (63).

Рассмотренные вектора , ,  образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений. Для сторон этого треугольника справедливы соотношения:

.  (71)

В заключение проанализируем энергетические процессы, протекающие в этой цепи. Как было установлено, интенсивность энергетических процессов, протекающих на участке цепи с R-элементом, можно характеризовать активной мощностью

,  (72)

а интенсивность этих процессов, протекающих на участке цепи с L-элементом – реактивной мощностью:

.  (73)

Поскольку в данной цепи включён R-элемент, то часть энергии источника питания будет безвозвратно потребляться на R-элементе. В то же время из-за наличия L-элемента в этой цепи будет происходить непрерывный обмен (с частотой 2ω) энергией (циркуляция энергии) между магнитным полем L-элемента и источником питания. Для характеристики общего энергетического режима цепи вводят понятие о полной мощности.

Определим её величину. Из (71) и (72) можно записать

  (74)

 (75)

Возведём в квадрат (74) и (75) и сложим полученные результаты

  (76)

или

,  (77)

где S – полная мощность этого участка цепи, измеряемая в вольт-амперах (ВА).

Можно записать соотношение между полной мощностью и её составляющими в комплексной форме. Для этого каждую сторону треугольника сопротивлений (рис. 15) умножим на . Вновь образованный прямоугольный треугольник (рис. 17) определяет своей гипотенузой полную мощность, а катетами – активную и реактивную мощности. Данный треугольник называется треугольником мощностей. Его стороны связаны соотношением:

. (78)

S – полная комплексная мощность данного участка цепи. Её модуль

.

Рис. 17.

Полная мощность и её составляющие измеряются единицами мощности одинакового масштаба. Однако для того, чтобы подчеркнуть разную физическую природу энергетических процессов, интенсивность которых они оценивают, эти единицы измерения называют по-разному:

Треугольники сопротивлений (рис. 15), напряжений (рис. 16) и мощностей (рис.17) подобны. Из этого, в частности, следует, что

.  (79)

 Предоставляем студентам самостоятельно провести аналогичный анализ для участка цепи, содержащего последовательное соединение R и C элементов.

Участок схемы с параллельным соединением

R- и C-элементов

Рассмотрим анализ ещё одной простейшей цепи (рис. 18), содержащей параллельное соединение R- и C-элементов. Данной схемой замещения на достаточно низкой частоте можно представить некоторые типы конденсаторов, если помимо его основного свойства – накапливать заряды, необходимо учесть сопротивление утечки зарядов из-за несовершенства диэлектрика, разделяющего обкладки конденсатора. Допустим, конденсатор подключён к синусоидальному напряжению

.

Рис. 18.

Зададим (произвольно) положительное направление токов в ветвях и для узла   составим уравнение по 1 закону Кирхгофа

.  (80)

Учитывая, что R-элемент и С-элемент соединены параллельно, получим из (29) и (52):

.

Тогда уравнение (80) примет вид

.  (81)

Для нахождения i(t) необходимо решить интегральное уравнение. Для упрощения анализа перейдём к комплексной форме записи напряжений и токов. Согласно соотношений (33) и (59):

,  (82)

где  – проводимость R-элемента;  – проводимость ёмкостного элемента. Эти параметры измеряются в сименсах (См). В комплексной форме записи уравнение (80) будет иметь вид:

.  (83)

 Подставив (82) в (83), получим:

  (84)

 Уравнение (84) представляет собой закон Ома для данной цепи. Параметр

  (85)

называется полной комплексной проводимостью данного участка цепи и измеряется (условно) в сименсах (См). Соотношение (85) можно изобразить на комплексной плоскости.

Рис. 19.

 Действительная часть комплексной проводимости:

называется активной составляющей полной комплексной проводимости. Мнимая часть комплексной проводимости:

 называется реактивной проводимостью участка цепи (для данной схемы эта величина также является модулем комплексной проводимости C-элемента). Треугольник, представленный   и её составляющими (рис. 19), называется треугольником проводимостей. Соотношение (85) представляет алгебраическую форму записи комплекса Y для данной цепи. В расчётах также получила распространение показательная форма записи Y

,  (86)

где –полная проводимость данного участка цепи, измеряется в сименсах (См); φ – фазовый угол полной проводимости, измеряется в угловых градусах или радианах

,

причем (как показывает рис. 19). Из треугольника проводимостей становятся очевидными следующие соотношения

  (87)

Согласно соотношениям (82) будем иметь

  (88)

Откуда

. (89)

Отразим соотношение (89) на векторной диаграмме. Построение начинаем с заданного вектора . Задаёмся масштабами mu (В/см) и mi (А/см). Т.к. по условию ψu = 0, то вектор  будет расположен вдоль оси +1 (рис. 20).

Рис. 20.

В положительном направлении оси абсцисс от точки О откладываем отрезок длиной, равной  (см). Конец отрезка отмечаем стрелкой. Вектор  построен. Далее строим вектор. Как показано на рис. 6,  должен совпадать по направлению с вектором . Поэтому от точки О в положительном направлении оси абсцисс откладываем отрезок длиной, равной  (см). Его конец отмечаем стрелкой. Вектор   построен. Для построения вектора   учтём, что в соответствии с ранее установленным (54), вектор тока через С-элемент  должен опережать вектор напряжения на С-элементе на 90º. В соответствии с этим условием вектор   должен лежать на луче KN, направление которого получено его поворотом от оси +1 на 90º в положительном направлении. Т. е. из конца вектора  (т. К) восстанавливаем перпендикуляр KN к оси +1. На этом перпендикуляре откладываем отрезок, равный  (см). Конец отмечаем стрелкой. Вектор  построен. В соответствии с правилом суммирования векторов вектор, соединяющий т. О и конец вектора , равен . Согласно (89) это будет вектор полного тока в цепи

.

Т. о. данная векторная диаграмма даёт геометрическую интерпретацию первого закона Кирхгофа для узла  в данной цепи (рис.18). Прямоугольный треугольник (рис. 20) называется треугольником токов. Из него следуют соотношения, связывающие модули токов в цепи

;

.  (90)

В заключение рассмотрим энергетические соотношения на этом участке цепи. Следует отметить, что реактивная мощность на -элементах считается положительной

,

а реактивная мощность на C-элементах – отрицательной

.

Поскольку в данной цепи (рис.18) включены R-элемент и С-элемент, то интенсивность энергетических процессов характеризуется совокупностью активной и реактивной мощностей. При этом полная мощность определится

;  (91)

активная мощность

;

реактивная мощность

.

Поскольку , то .

Полная мощность и её составляющие связаны соотношением

.

В комплексной форме эта связь имеет вид

.  (92)

Соотношение (92) можно отразить на комплексной плоскости в виде треугольника мощностей (рис.21).

Рис. 21.

Отметим, что треугольники проводимостей (рис.19), токов (рис. 20) и мощностей (рис. 21) подобны, т. е.

.

Студентам предлагается самостоятельно провести анализ участка цепи с параллельным соединением R- и L-элементов.


Основы электротехники Формы представления синусоидальных напряжений, ЭДС и токов