Решение типового варианта контрольной работы по математике

Система линейных уравнений с базисом. Метод Жордана  –  Гаусса

Систему линейных уравнений будем называть системой с базисом, если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным единице, отсутствующее во всех остальных уравнениях (т. е. входящее в них с коэффициентом, равным нулю) и называемое базисным неизвестным.

Предположим, что из n неизвестных  базисными являются первые . Тогда система с базисом будет иметь вид:

 (7.20)

Неизвестные, не являющиеся базисными, а именно,  называются свободными. Если свободным неизвестным придавать любые значения, то при каждом наборе значений свободных неизвестных из уравнений системы (7.20) можно единственным образом получить соответствующие значения базисных неизвестных. Следовательно, система с базисом всегда совместна, причём возможны два случая:

1) . В этом случае все неизвестные системы (7.20) окажутся базисными, и система будет иметь единственное решение .

2) . В этом случае непосредственно из уравнений системы (7.20) получим выражения базисных неизвестных   через свободные неизвестные :

 (7.21)

О п р е д е л е н и е 1. Общим решением системы с базисом (7.20) называется совокупность значений неизвестных , связанных формулами (7.21), которые выражают базисные неизвестные через свободные, где свободные неизвестные могут быть любыми числами.

О п р е д е л е н и е 2. Частным решением системы с базисом (7.20) называется всякое решение, получаемое из общего решения при определённых значениях свободных неизвестных.

Придавая какие угодно значения свободным неизвестным, можно из общего решения получить сколько угодно частных решений. Частное решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю, называется базисным решением системы (7.20).

Таким образом, система линейных уравнений с базисом (7.20) всегда совместна, при этом имеет единственное решение, если все её неизвестные являются базисными, и бесконечное множество решений, если кроме базисных, в ней есть хотя бы одно свободное неизвестное.

Метод Жордана – Гаусса решения систем линейных уравнений (7.1) состоит в том, что с помощью элементарных преобразований процесса Гаусса любую линейную систему можно либо преобразовать в равносильную ей систему с базисом, а значит, найти все её решения, либо убедиться в том, что исходная система несовместна. Для этого на каждом шаге алгоритма метода Жордана – Гаусса с помощью элементарных преобразований в одном из уравнений системы выделяется базисное неизвестное с коэффициентом, равным единице, которое исключается из всех остальных уравнений системы в отличие от метода Гаусса, в котором оно исключается только из последующих уравнений.

П р и м е р 1. Решить систему методом Жордана – Гаусса:

Р е ш е н и е. Выполним над системой элементарные преобразования метода Жордана – Гаусса, используя непосредственно расширенную матрицу системы:

:(-3)
 
 ~  ~

:(2)
 
 ~   ~

:(-2)
 
 ~   ~

 ~ 

Получили систему с базисом, равносильную исходной системе. Ее решением являются: 

П р и м е р 2. Решить систему методом Жордана – Гаусса:

Р е ш е н и е.

 :(2)
 
 ~  ~

:(4)
 
 ~

 ~

В полученной матрице содержится система с базисом

 

Здесь базисными неизвестными являются  и , а свободными неизвестными являются . Исходная система имеет бесконечное множество решений. Все они содержатся в общем решении, которое имеет вид:

 

где свободные неизвестные  могут быть любыми числами.

Из общего решения можно получить сколько угодно частных решений. Например, при   получим . Тогда частное решение 

  

является базисным решением.

При  получим частное решение

 

и так далее до бесконечности.

П р и м е р 3. Решить систему методом Жордана – Гаусса:

 

Р е ш е н и е. При выполнении элементарных преобразований используем дополнительную перестановку строк расширенной матрицы системы:

  ~  ~

 :(-1)
 
 ~  ~

 ~  ~

Шаги исключения неизвестных привели к противоречивому уравнению , стоящему в последней строке. Следовательно, полученная система уравнений и заданная система обе несовместны, т. е. не имеют решений.

Математика