Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Ранг матрицы

    В теории линейных систем важную роль играет понятие ранга матрицы. С помощью ранга матрицы, не решая систему, можно установить её совместность или несовместность, а в случае совместности определить количество решений.

    Рассмотрим произвольную (не обязательно квадратную) матрицу

     

    Пусть  – какое-нибудь натуральное число, не превосходящее  и . Выделим в этой матрице любые   строк и  столбцов. Тогда элементы, стоящие на пересечении выделенных  строк и  столбцов, образуют квадратную матрицу порядка . Определитель этой квадратной матрицы называется определителем, порождённым матрицей , или минором -го порядка матрицы .

    Для матрицы   можно составить столько миноров -го порядка, сколькими способами можно выделить в ней  строк и  столбцов. Например, для матрицы

     

    можно составить 4 минора 3-го порядка:

    Аналогично продолжая, можно составить 18 миноров 2-го порядка и 12 миноров 1-го порядка (миноры 1-го порядка есть просто элементы матрицы ). Некоторые из составленных миноров могут быть равными нулю, например, минор

     

    Другие миноры могут быть отличны от нуля, например,

     

    О п р е д е л е н и е. Рангом матрицы  называется число, равное наивысшему порядку миноров этой матрицы, отличных от нуля. Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой матрицы считается равным нулю по определению.

    Ранг матрицы   обозначается символами , или . Из определения следует:

    а) ранг матрицы  тогда и только тогда, когда хотя бы один минор -го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры выше -го порядка этой матрицы (если они существуют) равны нулю;

    б) ранг матрицы  порядков  и   не превосходит меньшего из её размеров, т. е. ;

    в) для квадратной матрицы -го порядка  тогда и только тогда, когда матрица  – невырожденная.

    Подсчёт ранга матрицы по определению требует громоздких вычислений, так как количество миноров матрицы может быть достаточно велико, если размеры матрицы не очень малы. Так, например, в матрице порядков  и , рассмотренной выше, количество миноров матрицы равно 34. В связи с этим проще находить ранг матрицы при помощи элементарных преобразований её строк и столбцов.

    Т е о р е м а. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

    Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) При умножении строки на число  минор, отличный от нуля, либо не изменится, либо умножится на . Ни один минор, равный нулю, не сделается отличным от нуля.

    2) Если все миноры порядка  равны нулю, то сложение строк не сделает ни один из них отличным от нуля. Действительно, полученный после указанного преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноров порядка  исходной матрицы (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили строку, в него не входящую), либо он равен сумме минора порядка   и определителя матрицы с двумя одинаковыми строками (в том случае, когда к строке, входящей в минор, прибавили другую строку, в него входящую). Из этих соображений следует, что ранг матрицы не может повыситься. Ясно, что он не может и понизиться, так как в противном случае при обратном преобразовании – вычитании строк – он бы повысился.

    3) При перестановке строк минор может изменить знак (если в него входят обе переставляемые строки), или может замениться на минор, не больше чем знаком, отличающийся от другого минора той же матрицы (если содержит только одну из переставляемых строк), или вообще не изменится. Ясно, что при этом ранг матрицы останется тем же.

    4) Неизменность ранга при элементарных преобразованиях столбцов доказывается аналогично. Тем самым теорема доказана полностью.

    Для нахождения ранга матрицы будем применять метод Жордана – Гаусса, выделяя в матрице единицы на главной диагонали. Например, если мы получили матрицу вида

     

    то очевидно, что ранг этой матрицы равен числу единиц на главной диагонали, т. е. равен 3, так как

     

    При этом все миноры 4-го порядка равны нулю, а миноры порядка выше 4-го составить нельзя.

    П р и м е р 1. Найти ранг матрицы

    Р е ш е н и е.

     

    П р и м е р 2. Найти ранг матрицы

    Р е ш е н и е.

    7.7.  Условие совместности систем линейных уравнений

    Пусть дана система  линейных уравнений с  неизвестными  вида:

     (7.22)

    где , или , или .

    Введём матрицу системы  и расширенную матрицу системы :

     (7.23)

    Обозначим ранги матриц через  и . Так как расширенная матрица системы  получается из матрицы системы  добавлением столбца свободных членов, что не может увеличить ранга матрицы, то их ранги связаны неравенством

     (7.24)

    Понятие ранга матрицы позволяет сформулировать условие совместности системы (7.22) в форме следующей основной теоремы теории линейных систем.

    Т е о р е м а К р о н е к е р а – К а п е л л и. Для того чтобы система   линейных уравнений с  неизвестными вида (7.22) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы:

      (7.25)

    Не проводя доказательства теоремы, поясним его. При элементарных преобразованиях системы (7.22) в процессе Гаусса, т. е. при элементарных преобразованиях матрицы системы  и расширенной матрицы системы , ранги этих матриц не изменяются. В п. 7.4 было установлено, что система (7.1), тождественно совпадающая с системой (7.22), совместна тогда и только тогда, когда она преобразуется в треугольную систему (7.17) и в трапециевидную систему (7.18). В обоих случаях, как нетрудно проверить, ранг матрицы   и ранг расширенной матрицы   систем (7.17) и (7.18), так же как и исходной системы (7.1), соответственно совпадают:   и .

    Из теоремы Кронекера – Капелли и систем (7.17), (7.18) легко получить ответ на вопрос о числе решений линейной системы (7.22): если , то система несовместна; если , то система имеет единственное решение; если , то система имеет бесчисленное множество решений. Отметим, что если ранг матрицы системы   равен числу уравнений, т. е. , то система совместна при любых свободных членах, так как ранг расширенной матрицы системы   не может быть больше числа её строк.

    Таким образом, можно, не решая систему, исследовать её совместность и в случае совместности установить количество решений.

    Применим теорему Кронекера – Капелли к однородной системе. Система  линейных уравнений с   неизвестными называется однородной, если все её свободные члены равны нулю:

      (7.26)

    Для однородной системы (7.26) расширенная матрица  получается из матрицы системы  добавлением нулевого столбца, что не меняет ранга, поэтому всегда . Это значит, что однородная система всегда совместна. Кроме того, она имеет очевидное нулевое или тривиальное решение

      (7.27)

    Поэтому, если , т. е. определитель однородной системы (7.26) при  отличен от нуля

     (7.28)

    то однородная система имеет только нулевое решение.

    Если же ,то решений будет бесчисленное множество, среди которых, кроме нулевого, имеются и ненулевые (нетривиальные) решения. В частном случае, когда , условие  равносильно условию

    Математика