Решение типового варианта контрольной работы по математике

Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы

При рассмотрении ряда вопросов, связанных с приложениями матричного исчисления, для данной квадратной матрицы  бывает необходимым отыскивать ненулевые матрицы-столбцы , для которых умножение на матрицу  слева равносильно умножению на некоторое число , т. е. для которых имеет место равенство

 

 (7.29)

Нулевой столбец, конечно, при любом  удовлетворяет этому соотношению. Однако ненулевые матрицы-столбцы, удовлетворяющие условию (7.29), существуют далеко не при всяком .

О п р е д е л е н и е 2. Число  называется собственным числом или собственным значением квадратной матрицы , если существует ненулевая матрица-столбец  такая, что выполняется равенство (7.29). Если  – собственное значение матрицы , то всякая матрица-столбец , удовлетворяющая равенству (7.29), называется собственным вектором  матрицы , принадлежащим собственному значению .

Выясним, что представляют собой собственные значения данной квадратной матрицы (и существуют ли они вообще).

Матричное равенство (7.29), выражающее линейное преобразование «старых» переменных  в «новые» переменные , равносильно системе   линейных уравнений с  неизвестными

  (7.30)

которую можно переписать в виде однородной системы

  (7.31)

Существование собственного вектора , удовлетворяющего условию (7.29), равносильно, таким образом, существованию ненулевого решения у системы  линейных однородных уравнений (7.31) с  неизвестными. Согласно п. 7.7 однородная система (7.31) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель   равен нулю:

  (7.32)

Образуем матрицу , где  – единичная матрица -го порядка.  Тогда

 

Следовательно, собственные значения  матрицы  характеризуются тем, что для них обращается в нуль определитель

 (7.33)

Равенство (7.33) называется характеристическим уравнением матрицы . Это условие на параметр , которому должны удовлетворять все собственные значения матрицы . Многочлен степени n относительно  называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни , представляющие собой только действительные (вещественные) числа, будут являться собственными значениями матрицы .

Чтобы найти все собственные векторы матрицы , принадлежащие данному собственному значению , надо, очевидно, найти все решения системы (7.31). Эти решения будут удовлетворять и системе (7.30), а значит, столбцы из решений будут собственными векторами матрицы  , обращающими в тождество матричное соотношение (7.29).

Отметим, что собственное значение собственного вектора  определяется однозначно. Действительно, предположим, что собственному вектору  соответствуют два различных собственных значения  и . Тогда из равенства  следует, что . Но, по определению, собственный вектор  – ненулевой, поэтому .

Напротив, собственный вектор , принадлежащий данному собственному значению , определяется не однозначно, а с точностью до постоянного множителя.

До сих пор на элементы матрицы  мы не накладывали никаких ограничений, они могли быть любыми действительными (вещественными) числами. Однако, если помимо условия вещественности элементов матрицы  предположить ещё, что матрица  симметрическая, т. е. совпадает со своей транспонированной матрицей, то имеет место следующая теорема.

Т е о р е м а. Если собственные векторы  и  симметрической матрицы  принадлежат различным собственным значениям  и , то они удовлетворяют условию ортогональности

  (7.34)

где  – вектор-строка (транспонированный столбец ).

П р и м е р. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Р е ш е н и е. Матрица  – симметрическая. Имеем характеристическое уравнение

Его корни различны: . Система уравнений для нахождения собственных векторов  есть

Подставим сюда поочерёдно    и в каждом случае найдём собственные векторы:

Нетрудно проверить, что полученные собственные векторы попарно удовлетворяют  условию ортогональности (7.34).

Математика