Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Линейные действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).

Нелинейные действия с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение).

Решение задач с помощью векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский.-М. : Наука, 1980.-175 с.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д. В. Клетеник. - М. - Наука, 1975. - 239 с.

Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И. И. Привалов. - М.: Гос. изд-во физ. - мат. лит-ры, 1961. - 229 с.

Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов. - М. : Высшая математика, 1974. - 415 с.

 

Решение типового варианта контрольной работы.

Задание 1: Коллинеарны ли векторы  и , разложенные по векторам   и , где

Решение:

1. Вычислим проекции векторов  на оси координат:

 

 

2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат:

  не коллинеарны.

Задание 2: Перпендикулярны ли векторы ?

Решение: Два вектора перпендикулярны , если их скалярное произведение равно 0,скалярное произведение векторов, заданных проекциями на оси координат, вычисляется по формуле:, где  вычислим скалярное произведение:

векторы не перпендикулярны.

Задание 3: Компланарны ли векторы ?

Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , гдевычислим смешанное произведение векторов:

векторы не компланарны.

Задание 4: При каком значении  векторы  где , перпендикулярны?

Решение:

1) Для определения , при котором векторы перпендикулярны, необходимо использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было рассмотрено в задании 2)  мы сможем найти из условия: , для этого найдем проекции векторов  и  на оси координат, заданных координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора  

Итак: векторы  и  перпендикулярны при  и при  

Математика