Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Задание 5: Даны точки:

Найти:

пр;

 ;

 ;

орт вектора ;

 ;

;

 Решение:

1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: пр где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: где  и длина вектора: итак ,в нашем случае, формула принимает вид:  для нахождения  необходимо найти проекции векторов на оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответствующего вектора:

 

 на основании формулы, выше написанной, получим :

  

 пр;

2. Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой:, для этого найдем проекции векторов на оси координат (смотри пункт 1), так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных проекциями на оси координат:

 

 ;

Итак:

3. Угол между векторами можно найти из определения скалярного произведения: в нашем случае формула принимает вид:    находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов:

 

Итак

4. Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат  Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам:  Направляющие косинусы вектора связаны соотношением мы имеем вектор единичной длины, такой вектор называется ортом   для нахождения орта вектора необходимо каждую проекцию вектора на оси координат разделить на его длину орт вектора .

Итак: орт вектора

 5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле:

(см. пункты 1 и 2), вычислим проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов :

 

 Итак:

6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:

 , где

Находим проекции векторов на оси координат:

Итак:

7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:

, где  Итак:

Математика