Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды:

Вычислить:

объем пирамиды;

длину ребра ;

площадь грани ;

Решение:

1. Объем пирамиды равен  объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем

параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен:

Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат:

Тогда объем пирамиды равен:

 

Вычислим объем по указанной формуле:

 ;

2. Длина ребра

 ; (смотри пункт 5,3)

3. Площадь грани  вычисляется по формуле:

 так как грань  треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения  найдем проекции векторов на оси координат:

 ;

Математика