Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Линейные операции над векторами.

    Основные понятия

    В физике, механике, химии встречаются величины, которые полностью характеризуются только число­вым значением (скаляром). Например, масса тела, концентрация раствора, давление газа, температура и т.д. Такие величины называются скалярными. Вместе с тем, для задания скорости, силы, ускорения необходимо задать не только их числовое значение, но и направление действия в пространстве. Такие величины называются векторными.

    ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА – раздел векторного исчисления, в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами.

    Определение 1.  Геометрическим вектором называется направленный отрезок прямой, т.е. отрезок, для которого указаны ограничивающие его точка начала и точка конца вектора.

    Если точка А – начало вектора, а точка В – конец вектора, то вектор обозначается символом . Век­торы также обозначаются малыми латинскими буквами:  и т.д. (рис. 1).

    Рис. 1.

    Определение 2. Число, равное длине вектора, называется его модулем.

    Модуль вектора  обозначается символом .

    Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым вектором и обозначается символом   (). Нулевому вектору можно приписать любое направление. Все нулевые векторы равны друг другу.

    Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (рис.2).



     Рис. 2.а Рис. 2.б

    Если два вектора и   коллинеарны, то это обозначается следующим образом: . Векторы, изображенные на рис. 2.а, называются сонаправленными, обозначается так , а векторы, изображенные на рис 2.б, называются противоположно направлен­ными. Символически это записывается так .

    Замечание. Сонаправленными и противоположно направленными могут быть только коллинеарные векторы.

    Так как нулевой вектор лежит на любой прямой, то, по определению, он считается коллинеарным любому вектору и перпендикулярным любому вектору.

    Определение 4. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

    Определение 5. Два вектора и называются равными, если выполнены следующие усло­вия:

    модули этих векторов равны;

    векторы сонаправлены.

    Символически это определение можно записать следующим образом:

    Если считать, что на рисунке 1 векторы лежат в одной плоскости, то , то есть  и - разные обозна­чения одного и того же вектора. Векторы  и  при равных длинах не равны друг другу, так как имеют разные направления.

    Таким образом, для задания любого вектора достаточно указать его модуль и направление, не фиксируя точку приложения (начало вектора может находиться где угодно). Используя определение равенства векто­ров, такой вектор всегда можно переместить поступательно, с помощью параллельного переноса, в требуе­мую точку пространства.

    Замечание. Иногда свобода вектора ограничивается, например:

    если кроме вектора задана его точка приложения, то он называется связанным (радиус-вектор);

    если кроме вектора задана его точка направления, то он называется скользящим (вектор угловой скоро­сти расположен по оси вращения);

    свободный вектор не ограничен ничем.

    В дальнейшем, если это не оговорено специально, мы будем пользоваться понятием свободного вектора.

    Для любого вектора  определим противоположный ему вектор, обозначаемый , такой, что мо­дули этих векторов равны, они коллинеарны, но противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору , обозначают –.

    Рис. 3

     
    Если в пространстве заданы два вектора  и   то, используя определение равенства векторов, их можно привести к одному началу (рис. 3).

    Рис. 3.

    Тогда углом между векторами  и   называется наименьший угол j (jÎ[0,p]), на который нужно повер­нуть вектор  до совпадения с вектором .

    Геометрические векторы являются предметом так называемого векторного исчисления, подобно тому, как числа являются предметом арифметики. В векторном исчислении над векторами производятся некоторые операции, которые являются математическими абстракциями аналогичных операций, производи­мых с различными конкретными векторными величинами в физике.

    Математика