Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Линейные операции над векторами

    Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число (скаляр). В основу их определения положены известные из механики законы взаимодействия векторных величин – сил, скоростей и т.д.

    1. Сложение векторов.

    Если даны два вектора  и , то располагают их так, чтобы начало второго вектора совпало с кон­цом первого вектора. Тогда суммой векторов   и  называется такой вектор , который соединяет начало первого вектора с концом второго (рис.4). Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника.

    Аналогичное правило сложения (правило многоугольника) действует и для нескольких векторов (рис. 5).

     

     Рис.4 Рис.5

    Если два вектора приведены к одному началу, то их суммой будет вектор, образованный диагональю парал­лелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, и выходящий из общего начала (рис. 6). Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

    Рис. 6

    Из введенных выше правил сложения векторов вытекают следующие свойства этой операции:

    1.  – свойство коммутативности операции сложения;

    2.  – свойство ассоциативности операции сложения;

    3.  – наличие противоположного элемента;

    4.  – наличие нулевого элемента.

    2. Вычитание векторов.

    Разностью двух векторов  и   называется вектор, равный сумме вектораи вектора (-), противоположного вектору:

    Если векторы приведены к общему началу, то вектор, равный разности , является второй диагональю параллелограмма, построенного на векторах  и   как на сторонах. При этом началом этого вектора явля­ется конец вектора  (рис. 7).

    Рис.7

    3. Умножение вектора на скаляр.

    Определение 6. Произведением вектора  на действительное число l называется новый вектор, обозначаемый l, такой, что его модуль равен модулю вектора , умноженному на модуль числа l, т.е. , и векторы  и l сонаправлены при l>0 и противоположно направлены при l<0 (рис. 8).

    Произведение вектора на число обладает свойствами, которые легко доказать геометрически. Для лю­бых действительных чисел и  и любых векторов  и

    1.  - умножение на единицу,

    2.  - свойство ассоциативности по отношению к числам,

    3.  - свойство дистрибутивности относительно сложения чисел,

    4.  - свойство дистрибутивности относительно сложения векторов.

    Из определения и свойств вытекают следующие полезные для практики равенства

    Единичный вектор. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором.

    Вектор, имеющий направление вектора  и модуль, равный единице, называется ортом направления вектора . Орт обозначается символом .

    Для любого заданного вектора  легко получить его орт. Для этого необходимо вектор  разделить на его модуль:

    Математика