Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число (скаляр). В основу их определения положены известные из механики законы взаимодействия векторных величин – сил, скоростей и т.д.

1. Сложение векторов.

Если даны два вектора  и , то располагают их так, чтобы начало второго вектора совпало с кон­цом первого вектора. Тогда суммой векторов   и  называется такой вектор , который соединяет начало первого вектора с концом второго (рис.4). Такое правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Аналогичное правило сложения (правило многоугольника) действует и для нескольких векторов (рис. 5).

 

 Рис.4 Рис.5

Если два вектора приведены к одному началу, то их суммой будет вектор, образованный диагональю парал­лелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, и выходящий из общего начала (рис. 6). Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

Рис. 6

Из введенных выше правил сложения векторов вытекают следующие свойства этой операции:

1.  – свойство коммутативности операции сложения;

2.  – свойство ассоциативности операции сложения;

3.  – наличие противоположного элемента;

4.  – наличие нулевого элемента.

2. Вычитание векторов.

Разностью двух векторов  и   называется вектор, равный сумме вектораи вектора (-), противоположного вектору:

Если векторы приведены к общему началу, то вектор, равный разности , является второй диагональю параллелограмма, построенного на векторах  и   как на сторонах. При этом началом этого вектора явля­ется конец вектора  (рис. 7).

Рис.7

3. Умножение вектора на скаляр.

Определение 6. Произведением вектора  на действительное число l называется новый вектор, обозначаемый l, такой, что его модуль равен модулю вектора , умноженному на модуль числа l, т.е. , и векторы  и l сонаправлены при l>0 и противоположно направлены при l<0 (рис. 8).

Произведение вектора на число обладает свойствами, которые легко доказать геометрически. Для лю­бых действительных чисел и  и любых векторов  и

1.  - умножение на единицу,

2.  - свойство ассоциативности по отношению к числам,

3.  - свойство дистрибутивности относительно сложения чисел,

4.  - свойство дистрибутивности относительно сложения векторов.

Из определения и свойств вытекают следующие полезные для практики равенства

Единичный вектор. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором.

Вектор, имеющий направление вектора  и модуль, равный единице, называется ортом направления вектора . Орт обозначается символом .

Для любого заданного вектора  легко получить его орт. Для этого необходимо вектор  разделить на его модуль:

Математика