Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Разложение вектора по базису

Определение 7.   Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространст­вом, множество векторов на плоскости  –  двумерным векторным пространством, в пространстве – трех­мерным векторным пространством.

Легко проверить, что если  – какое-то векторное пространство, , – число, то и.

Определение 8.  Линейной комбинацией векторов   с коэффициентами   на­зывается вектор .

На рисунке 8 приведены примеры линейных комбинаций:

Рис. 8

Векторы  на рисунке 8 и = являются линейными комбинациями векторов :

 

Говорят, что вектор  раскладывается по векторам , если   является линейной комби­нацией этих векторов, т.е.представим в виде  =.

Замечание.

1) Если , то любой вектор , коллинеарный , представим, и причем единствен­ным образом, в виде , где  – число

2) Пусть  и  два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор , компланарный с векторами   и , раскладывается по ним: , причем единственным образом.

3) Пусть ,  и  – некомпланарные векторы. Тогда любой вектор  раскладыва­ется по этим векторам: , причем единственным образом.

Таким образом, в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

Определение 9.  Базисом векторного пространства  будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если простран­ство трехмерное.

Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векто­ров в каждом из них равно размерности пространства.

Определение 10.  Координатами (или компонентами) вектора   в базисе  называются ко­эффициенты  разложения  вектора  по векторам базиса.

Для указания, что вектор  имеет координаты  используется запись

Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора, в общем, изменятся. Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами.

Линейные операции над векторами в координатной форме

Пусть в векторном пространстве  выбран базис  и заданы координаты векторов в этом базисе: ; .

Тогда

- при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это числo: ,

- при сложении векторов складываются их соответствующие координаты:

.

Замечание. Все координаты нулевого вектора в любом базисе равны нулю.

Замечание. Базисный вектор с номером имеет координату с номером , равную 1, а все остальные координаты – нулевые.  

Замечание. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

.

redmond йогуртница, лечебное средство.
Математика