Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Разложение вектора по базису

    Определение 7.   Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространст­вом, множество векторов на плоскости  –  двумерным векторным пространством, в пространстве – трех­мерным векторным пространством.

    Легко проверить, что если  – какое-то векторное пространство, , – число, то и.

    Определение 8.  Линейной комбинацией векторов   с коэффициентами   на­зывается вектор .

    На рисунке 8 приведены примеры линейных комбинаций:

    Рис. 8

    Векторы  на рисунке 8 и = являются линейными комбинациями векторов :

     

    Говорят, что вектор  раскладывается по векторам , если   является линейной комби­нацией этих векторов, т.е.представим в виде  =.

    Замечание.

    1) Если , то любой вектор , коллинеарный , представим, и причем единствен­ным образом, в виде , где  – число

    2) Пусть  и  два неколлинеарных вектора. Тогда любой вектор , компланарный с векторами   и , раскладывается по ним: , причем единственным образом.

    3) Пусть ,  и  – некомпланарные векторы. Тогда любой вектор  раскладыва­ется по этим векторам: , причем единственным образом.

    Таким образом, в любом векторном пространстве любой размерности есть система векторов, по которой раскладывается каждый вектор пространства, причем единственным образом.

    Определение 9.  Базисом векторного пространства  будем называть упорядоченную систему векторов пространства, состоящую: из одного ненулевого вектора, если пространство одномерное; из двух неколлинеарных векторов, если пространство двумерное; из трех некомпланарных векторов, если простран­ство трехмерное.

    Очевидно, что в любом векторном пространстве можно выбрать бесконечно много базисов, число векто­ров в каждом из них равно размерности пространства.

    Определение 10.  Координатами (или компонентами) вектора   в базисе  называются ко­эффициенты  разложения  вектора  по векторам базиса.

    Для указания, что вектор  имеет координаты  используется запись

    Очевидно, что в фиксированном базисе каждый вектор имеет свой, единственный, набор координат. Если же взять другой базис, то координаты вектора, в общем, изменятся. Сложение векторов и умножение их на число связаны с аналогичными действиями с их координатами.

    Линейные операции над векторами в координатной форме

    Пусть в векторном пространстве  выбран базис  и заданы координаты векторов в этом базисе: ; .

    Тогда

    - при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это числo: ,

    - при сложении векторов складываются их соответствующие координаты:

    .

    Замечание. Все координаты нулевого вектора в любом базисе равны нулю.

    Замечание. Базисный вектор с номером имеет координату с номером , равную 1, а все остальные координаты – нулевые.  

    Замечание. У коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

    .

    Здесь услуги по переводу текстов.
    Математика