Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Система координат.

Координаты вектора в ортонормированном базисе

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства (на плоскости все построения аналогичны). Фиксируем не­которую точку O и возьмем произвольную точку M. Радиус-вектором точки M по отношению к точке O называется вектор .

Если в пространстве выбран базис, то вектор  раскладывается по этому базису. Таким образом, точке M можно сопоставить упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты ее радиус-вектора.

Определение 11.  Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка O носит название начала координат; прямые X/X , Y/Y , Z/Z, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. Первая  X/X – осью абсцисс, вторая Y/Y – осью ординат, третья Z/Z – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.

Определение 12. Координаты (x, y, z) радиус – вектора точки M по отношению к началу координат называются координатами точки M в рассматриваемой системе координат.  

Первая координата x называется абсциссой, вторая y – ординатой, третья z – аппликатой.

Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости: точка имеет только две координаты  x и y– абсциссу и ординату.

Определение 13. Декартова система координат называется прямоугольной, если базис задается единичными и попарно ортогональными (перпендикулярными) друг другу векторами – базисными ортами : – орт оси OX;

 – орт оси OY;

 – орт оси OZ.

Базис () назы­вается ортонормированным.

В дальнейшем будет использоваться декартова прямоугольная система координат.

На рис. 9 показан способ изображения точки A(-1;2;3) по ее координатам относительно ортонормированного базиса :

Рис. 9

Утверждение. Если точки A и B заданы своими координатами , то .

Т.е. для определения координат вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Проекции вектора

Пусть в пространстве задана некоторая ось l, то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка O и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.

Определение 14.  Проекцией точки A на ось l называется число, соответствующее основанию перпендикуляра AB, опущенного на ось l из точки A.

Определение 15. Проекцией вектора на ось l называется разность проекций конца вектора и его начала.

Проекция обозначается . На рис. 10 .

Рис. 10. Проекция вектора на ось

Легко проверить, что если , то , то есть проекция не зависит от положения начала вектора, а зависит только от самого вектора.

Утверждение. Пусть  – угол, образованный вектором  с осью l. Тогда .

Таким образом, проекция вектора на ось есть число, которое может быть положительным, отрицательным и нулем (рис 11).

,

,

Рис. 11

Утверждение. Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций:

Утверждение. Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число: .Определение 16.  Проекцией вектора  на вектор , , называется проекция вектора   на любую ось, параллельную вектору   и имеющую направление, совпадающее с направлением вектора.

Проекция вектора  на вектор  обозначается . Очевидно, что , где   – угол между векторами   и .

Координаты вектора являются коэффициентами его разложения по ортам  координатных осей:

Утверждение.  Проекции вектора на координатные оси равны координатам вектора:

.

Поместим вектор в начало координат и обозначим через  углы, образованные вектором  с положительным направлением осей OX, OY, OZ. Эти углы называются направляющими углами вектора .

Определение 17. Косинусы углов, образованных вектором с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.

Рис. 12

В соответствии с рис. 12, направляющими косинусами вектора  являются  

Отметим важное свойство направляющих косинусов:

Утверждение. Координаты вектора равны его направляющим косинусам, умноженным на длину вектора:

Если вектор единичный, то его координатами служат направляющие косинусы:

Математика