Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Задача 3. Выполнить действия:

    Решение. Выполним решение по действиям.

    =

    .

    .

    Ответ: .

    Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

    Если , , то произведением матрицы  называется матрица , такая, что , где .

    Пример:  

    Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2).

    Произведение   определено.

    Системы линейных уравнений

    Система уравнений следующего вида:

    ,

    где аij, bi – числовые коэффициенты, xi – переменные, называется системой линейных уравнений.

    Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.

    Система линейных уравнений называется:

    совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

    несовместной, если она не имеет решений;

    определенной, если она имеет единственное решение;

    однородной, если все bi = 0;

    неоднородной, если все bi ≠ 0.

    Правило Крамера

    (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

    Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

    Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

    D = det A ¹ 0;

    Теорема. (Правило Крамера):

    Система из n уравнений с n неизвестными

    В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

    хi = ;

    где D - главный определитель, составленный из числовых коэффициентов при неизвестных, а Di – вспомогательный определитель, получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов bi.

    Di =

    Пример. Решить систему, используя правило Крамера.

    ;

    D1= ; D2= ; D3= ;

    x1 = ; x2 = ; x3 = ;

    Пример. Найти решение системы уравнений:

    D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

    D1 =  = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

    x1 =  = 1;

    D2 =  = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

    x2 =  = 2;

    D3 =  = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

    x3 =  = 3.

    Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

    Математика