Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Скалярное произведение векторов и его приложение

Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них – скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

Определение 18.  Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное , где

 – угол между векторами и.

Замечание. Если один из векторов нулевой, то угол  не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов  и   обозначается , или . Скалярное произведение вектора на себя :=.

Таким образом, согласно определению,  где .

Скалярное произведение обладает свойствами, которые будут сформулированы в виде теоремы.

Теорема. Для любых векторов и   выполнены следующие соотношения:

10.  - свойство коммутативности;

20. - свойство дистрибутивности;

30. , где число;

40. при ;

50. ;

60. Если  – угол между векторами   и, то

  (1)

70. тогда и только тогда, когда векторы   и  ортогональны.

80. Геометрический смысл: , если ;

90. Механический смысл: скалярное произведение силы  на вектор  равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору, т.е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов   координатных осей: 

Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления скалярного произведения векторов  и по координатам сомножителей имеет вид

 , (2)

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций.

Так как, то, применяя равенство (2), получим формулу для

определения длины вектора :

 . (3)

Выражая числитель и знаменатель формулы (1) посредством координат векторов  и , применяя формулы (2) и (3), находим

.

Пусть в пространстве заданы точки и. Тогда . Длина вектора будет равна и из формулы (3) следует, что

Сведем основные результаты в таблицу:

Таблица 1

Вид произведения

Скалярное произведение векторов

и

Обозначение

Понятие

Представление в координатах

Приложение

1)

2)

3)

Математика