Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Скалярное произведение векторов и его приложение

    Кроме операций сложения и умножения на число на множестве векторов определены еще несколько операций. Одна из них – скалярное произведение, позволяющее находить длины векторов и углы между векторами по координатам векторов.

    Определение 18.  Скалярным произведением векторов  и  называется число, равное , где

     – угол между векторами и.

    Замечание. Если один из векторов нулевой, то угол  не определен. Скалярное произведение в этом случае считается равным нулю.

    Скалярное произведение векторов  и   обозначается , или . Скалярное произведение вектора на себя :=.

    Таким образом, согласно определению,  где .

    Скалярное произведение обладает свойствами, которые будут сформулированы в виде теоремы.

    Теорема. Для любых векторов и   выполнены следующие соотношения:

    10.  - свойство коммутативности;

    20. - свойство дистрибутивности;

    30. , где число;

    40. при ;

    50. ;

    60. Если  – угол между векторами   и, то

      (1)

    70. тогда и только тогда, когда векторы   и  ортогональны.

    80. Геометрический смысл: , если ;

    90. Механический смысл: скалярное произведение силы  на вектор  равно работе А этой силы при перемещении материальной точки по вектору, т.е. .

    Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов   координатных осей: 

    Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления скалярного произведения векторов  и по координатам сомножителей имеет вид

     , (2)

    т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций.

    Так как, то, применяя равенство (2), получим формулу для

    определения длины вектора :

     . (3)

    Выражая числитель и знаменатель формулы (1) посредством координат векторов  и , применяя формулы (2) и (3), находим

    .

    Пусть в пространстве заданы точки и. Тогда . Длина вектора будет равна и из формулы (3) следует, что

    Сведем основные результаты в таблицу:

    Таблица 1

    Вид произведения

    Скалярное произведение векторов

    и

    Обозначение

    Понятие

    Представление в координатах

    Приложение

    1)

    2)

    3)

    Математика