Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Решение типовых примеров

Пример № 1. Коллинеарны ли векторы где .

Решение.

1) Найдем координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

2) Так как

,

то координаты векторов  и   пропорциональны. Следовательно, векторы   и  коллинеарны.

Ответ. Векторы  и   коллинеарны.

Пример № 2. Даны вершины треугольника:  Найдите длину стороны  и .

Решение.

1) Вычисляем координаты векторов и :

2) По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

т.е. .

Ответ. AB=5 ед. .

Пример № 3. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах   и , где – единичные векторы, угол между которыми равен .

Решение. Сделав схематический рисунок,

Рис. 13.

убеждаемся, что вектор , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле

,

а другой –

.

Отсюда

  (4)

В силу свойства 50 (теорема 1) скалярного произведения получим

Аналогично,

Найдем скалярное произведение векторов   и . Учитывая свойство 10 коммутативности скалярного произведения и (4), имеем

Так как

то

Ответ.

Математика