Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Решение типовых примеров

    Пример № 1. Коллинеарны ли векторы где .

    Решение.

    1) Найдем координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

    2) Так как

    ,

    то координаты векторов  и   пропорциональны. Следовательно, векторы   и  коллинеарны.

    Ответ. Векторы  и   коллинеарны.

    Пример № 2. Даны вершины треугольника:  Найдите длину стороны  и .

    Решение.

    1) Вычисляем координаты векторов и :

    2) По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем

    т.е. .

    Ответ. AB=5 ед. .

    Пример № 3. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах   и , где – единичные векторы, угол между которыми равен .

    Решение. Сделав схематический рисунок,

    Рис. 13.

    убеждаемся, что вектор , соответствующий одной диагонали параллелограмма, находится по формуле

    ,

    а другой –

    .

    Отсюда

      (4)

    В силу свойства 50 (теорема 1) скалярного произведения получим

    Аналогично,

    Найдем скалярное произведение векторов   и . Учитывая свойство 10 коммутативности скалярного произведения и (4), имеем

    Так как

    то

    Ответ.

    Математика