Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Векторное произведение векторов, его свойства.

Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

Определение 19. Векторным произведением вектора   на вектор  называется третий вектор , определяемый следующими условиями:

1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. 

,

где  – угол между векторами   и , и если , то еще двум условиям:

2) вектор   ортогонален плоскости векторов   и , т.е.  и ; 3) векторы ,иобразуют правую тройку: из конца вектора  кратчайший поворот от вектора  (первого сомножителя) к вектору  (второму сомножителю) виден против часовой стрелки (начала векторов предполагаются совмещенными) (рис. 14).

Рис. 14

Замечание. Угол между векторами в пространстве удовлетворяет условию . Тогда . Если  или , то считается, что векторное произведение равно .

Векторное произведение вектора  на вектор  обозначается или .

Свойства векторного произведения векторов

10.  – свойство антикоммутативности;

20 тогда и только тогда, когда векторы   и  коллинеарны;

30. , где число;

40.  – свойство дистрибутивности;

50.  

60. Геометрический смысл:

– площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы   и , равна модулю их векторного произведения,

 ; (5)

– площадь треугольника со сторонами  и   вычисляется по формуле .

70. Механический смысл: если – сила, приложенная к точке М, то момент  этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов  и , т.е. .

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис . Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие (рис. 15): векторы  образуют правую тройку.

Рис.15

Из определения векторного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов   координатных осей: 

Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления векторного произведения векторов  и по координатам сомножителей имеет вид

.

Смешанное произведение векторов

Пусть заданы три произвольных вектора ,  и .

Определение 20. Смешанным (или векторно – скалярным) произведением трех векторов (взятых в указанном порядке) называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов  и , т.е. .

Смешанное произведение обозначается .

Свойства смешанного произведения

10. Смешанное произведение не изменится:

а) при циклической перестановке сомножителей, т.е.

;

б) при замене местами знаков векторного и скалярного умножений, т. е.

.

20. При перемене мест любых двух сомножителей в смешанном произведении его знак меняется на противоположный:

.

30. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

а) хотя бы один из векторов нулевой;

б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

в) перемножаемые векторы компланарны.

Признак компланарности

Для того чтобы три ненулевых вектора и  были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю:

 , (6)

равенство (6) называется условием компланарности векторов.

Геометрический смысл смешанного произведения трех некомпланарных векторов заключается в том, что абсолютная величина смешанного произведения векторов и  равна объему  параллелепипеда,

построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.

;

объем  образованной  этими векторами треугольной пирамиды находится по формуле

 . (7)

Если векторы ,  и  в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , , то формула для вычисления смешанного произведения векторов , и по координатам сомножителей имеет вид

.

Математика