Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Векторное произведение векторов, его свойства.

    Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.

    Определение 19. Векторным произведением вектора   на вектор  называется третий вектор , определяемый следующими условиями:

    1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. 

    ,

    где  – угол между векторами   и , и если , то еще двум условиям:

    2) вектор   ортогонален плоскости векторов   и , т.е.  и ; 3) векторы ,иобразуют правую тройку: из конца вектора  кратчайший поворот от вектора  (первого сомножителя) к вектору  (второму сомножителю) виден против часовой стрелки (начала векторов предполагаются совмещенными) (рис. 14).

    Рис. 14

    Замечание. Угол между векторами в пространстве удовлетворяет условию . Тогда . Если  или , то считается, что векторное произведение равно .

    Векторное произведение вектора  на вектор  обозначается или .

    Свойства векторного произведения векторов

    10.  – свойство антикоммутативности;

    20 тогда и только тогда, когда векторы   и  коллинеарны;

    30. , где число;

    40.  – свойство дистрибутивности;

    50.  

    60. Геометрический смысл:

    – площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы   и , равна модулю их векторного произведения,

     ; (5)

    – площадь треугольника со сторонами  и   вычисляется по формуле .

    70. Механический смысл: если – сила, приложенная к точке М, то момент  этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов  и , т.е. .

    Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис . Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие (рис. 15): векторы  образуют правую тройку.

    Рис.15

    Из определения векторного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов   координатных осей: 

    Если векторы и в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , то формула для вычисления векторного произведения векторов  и по координатам сомножителей имеет вид

    .

    Смешанное произведение векторов

    Пусть заданы три произвольных вектора ,  и .

    Определение 20. Смешанным (или векторно – скалярным) произведением трех векторов (взятых в указанном порядке) называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов  и , т.е. .

    Смешанное произведение обозначается .

    Свойства смешанного произведения

    10. Смешанное произведение не изменится:

    а) при циклической перестановке сомножителей, т.е.

    ;

    б) при замене местами знаков векторного и скалярного умножений, т. е.

    .

    20. При перемене мест любых двух сомножителей в смешанном произведении его знак меняется на противоположный:

    .

    30. Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если:

    а) хотя бы один из векторов нулевой;

    б) два из перемножаемых векторов коллинеарны;

    в) перемножаемые векторы компланарны.

    Признак компланарности

    Для того чтобы три ненулевых вектора и  были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю:

     , (6)

    равенство (6) называется условием компланарности векторов.

    Геометрический смысл смешанного произведения трех некомпланарных векторов заключается в том, что абсолютная величина смешанного произведения векторов и  равна объему  параллелепипеда,

    построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.

    ;

    объем  образованной  этими векторами треугольной пирамиды находится по формуле

     . (7)

    Если векторы ,  и  в ортонормированном базисе заданы своими координатами: , , то формула для вычисления смешанного произведения векторов , и по координатам сомножителей имеет вид

    .

    Математика