Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Преобразование алгебраических выражений

    Теоретические основы темы и решение типовых задач

    Формулы сокращенного умножения

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

    (a - b)2 = a2 - 2ab + b2;

    a2 – b2 = (a – b)(a + b);

    a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); (1.1)

    a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2);

    (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b);

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

    Кроме того, если рассмотреть

    , при ; ,

    то формулы разности квадратов, суммы и разности кубов можно увидеть и в выражениях:

    , при ;

    . (1.2)

    Важно знать, как выделить полный квадрат в квадратном трехчлене ():

    =

    = . (1.3)

    Пример 1. Выделить полный квадрат в квадратном трехчлене:

    1) ;

     

    Пример 2. Преобразовать данное уравнение к квадратному:

    .

    Решение. Полагаем . (*)

    Преобразуем первое слагаемое, исходя из нашей замены:

    =.

    Рассматриваякак =, подставляя в исходное уравнение и делая замену (*), имеем .

    Многочлен Pn(x) и его корень. Теорема Безу.
    Разложение многочлена на множители

    Схема Горнера

    Напомним, что одночленом называется произведение нескольких сомножителей, один из которых числовой (коэффициент), а другие – степени с буквенными основаниями (например, 3x4y2).

    Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех букв, входящих в этот одночлен. Два одночлена называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.

    Многочленом называется сумма нескольких одночленов (например, 3x4y2 + x2y2 + x2y – 1).

    Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одночленов, образующих данный многочлен.

    Разложить многочлен

     (1.4)

    на множители – значит заменить его тождественно равным ему произведением, т. е. представить его в виде

    , (1.5)

    или с учетом кратности корней:

    ,

    где  – кратности корней.

    Приведем примеры, иллюстрирующие три основных способа разложения многочленов на множители.

    1. Разложение на множители путем вынесения общего множителя за скобки.

    Пример 3.   = .

    Пример 4.

    =

    2. Разложение на множители многочлена методом группировки.

    Пример 5.

    .

    Пример 6.

    ==

    =.

    3. Разложение на множители многочлена, применяя формулы сокращенного умножения.

    Пример 7. =.

    Пример 8.

    =

    =.

    Корни многочлена n-й степени (1.4) можно найти с помощью следующей теоремы: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами  имеет целый корень, то он является делителем свободного члена многочлена .

    Если путем подбора делителей свободного члена a0 найти  – корень многочлена n-й степени , то многочлен (1.4) запишется в виде

    =, (1.6)

    где  – некоторый многочлен степени n – 1.

    Здесь уместно привести формулировку теоремы Безу.

    Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен , т. е. значению многочлена при .

    Многочлен  находят путем деления «углом» многочлена на многочлен (в нашем случае на одночлен), для этого надо:

    1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням ;

    2) разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен является первым членом частного;

    3) первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

    4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым остатком поступить так же, как поступили с делимым в п. 2 и 3.

    Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени делителя. Далее находят корни многочлена .

    Следствие из теоремы Безу:

    Многочлен делится на двучлен  без остатка тогда и только тогда, когда число  является корнем данного многочлена.

    Пример 9. Найти остаток от деления многочлена

     на x + 3.

    Решение. Найдем остаток от деления многочлена  на x + 3 по теореме Безу:

    .

    Проверить (самостоятельно) путем деления «углом» данного многочлена на x + 3, что остаток будет равен –39 .

    Пример 10. Найти корень  многочлена

    .

    Найти  и записать =.

    Решение. Согласно теореме целый корень этого уравнения следует искать среди делителей свободного члена 24, т. е. среди чисел ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24.

    Путем подбора делителей свободного члена находим корень многочлена ,

    .

    Таким образом  – корень данного уравнения.

    Многочлен   находят путем деления «углом» многочлена на одночлен :

      

      

     

     

     

     

     

     

     

    Получаем

    =.

    Ответ: =.

    Оказывается, в случае, когда делитель есть двучлен , обычную схему деления «углом» можно значительно упростить в записи. Это правило нахождения частного и остатка называется схемой Горнера и состоит в следующем: старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого. Для получения каждого следующего коэффициента частного нужно соответствующий коэффициент делимого сложить с предыдущим коэффициентом частного, умноженным на число . Остаток вычисляется аналогично: нужно свободный член делимого сложить со свободным членом частного, умноженным на число. Эти вычисления обычно записываются с помощью таблицы:

     коэффициенты делимого

     

     коэффициенты частного остаток

    Математика