Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Преобразование алгебраических выражений

Теоретические основы темы и решение типовых задач

Формулы сокращенного умножения

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2;

a2 – b2 = (a – b)(a + b);

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2); (1.1)

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2);

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b);

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

Кроме того, если рассмотреть

, при ; ,

то формулы разности квадратов, суммы и разности кубов можно увидеть и в выражениях:

, при ;

. (1.2)

Важно знать, как выделить полный квадрат в квадратном трехчлене ():

=

= . (1.3)

Пример 1. Выделить полный квадрат в квадратном трехчлене:

1) ;

 

Пример 2. Преобразовать данное уравнение к квадратному:

.

Решение. Полагаем . (*)

Преобразуем первое слагаемое, исходя из нашей замены:

=.

Рассматриваякак =, подставляя в исходное уравнение и делая замену (*), имеем .

Многочлен Pn(x) и его корень. Теорема Безу.
Разложение многочлена на множители

Схема Горнера

Напомним, что одночленом называется произведение нескольких сомножителей, один из которых числовой (коэффициент), а другие – степени с буквенными основаниями (например, 3x4y2).

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех букв, входящих в этот одночлен. Два одночлена называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.

Многочленом называется сумма нескольких одночленов (например, 3x4y2 + x2y2 + x2y – 1).

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одночленов, образующих данный многочлен.

Разложить многочлен

 (1.4)

на множители – значит заменить его тождественно равным ему произведением, т. е. представить его в виде

, (1.5)

или с учетом кратности корней:

,

где  – кратности корней.

Приведем примеры, иллюстрирующие три основных способа разложения многочленов на множители.

1. Разложение на множители путем вынесения общего множителя за скобки.

Пример 3.   = .

Пример 4.

=

2. Разложение на множители многочлена методом группировки.

Пример 5.

.

Пример 6.

==

=.

3. Разложение на множители многочлена, применяя формулы сокращенного умножения.

Пример 7. =.

Пример 8.

=

=.

Корни многочлена n-й степени (1.4) можно найти с помощью следующей теоремы: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами  имеет целый корень, то он является делителем свободного члена многочлена .

Если путем подбора делителей свободного члена a0 найти  – корень многочлена n-й степени , то многочлен (1.4) запишется в виде

=, (1.6)

где  – некоторый многочлен степени n – 1.

Здесь уместно привести формулировку теоремы Безу.

Остаток от деления многочлена  на двучлен  равен , т. е. значению многочлена при .

Многочлен  находят путем деления «углом» многочлена на многочлен (в нашем случае на одночлен), для этого надо:

1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням ;

2) разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен является первым членом частного;

3) первый член частного умножить на делитель, результат вычесть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым остатком поступить так же, как поступили с делимым в п. 2 и 3.

Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени делителя. Далее находят корни многочлена .

Следствие из теоремы Безу:

Многочлен делится на двучлен  без остатка тогда и только тогда, когда число  является корнем данного многочлена.

Пример 9. Найти остаток от деления многочлена

 на x + 3.

Решение. Найдем остаток от деления многочлена  на x + 3 по теореме Безу:

.

Проверить (самостоятельно) путем деления «углом» данного многочлена на x + 3, что остаток будет равен –39 .

Пример 10. Найти корень  многочлена

.

Найти  и записать =.

Решение. Согласно теореме целый корень этого уравнения следует искать среди делителей свободного члена 24, т. е. среди чисел ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24.

Путем подбора делителей свободного члена находим корень многочлена ,

.

Таким образом  – корень данного уравнения.

Многочлен   находят путем деления «углом» многочлена на одночлен :

  

  

 

 

 

 

 

 

 

Получаем

=.

Ответ: =.

Оказывается, в случае, когда делитель есть двучлен , обычную схему деления «углом» можно значительно упростить в записи. Это правило нахождения частного и остатка называется схемой Горнера и состоит в следующем: старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого. Для получения каждого следующего коэффициента частного нужно соответствующий коэффициент делимого сложить с предыдущим коэффициентом частного, умноженным на число . Остаток вычисляется аналогично: нужно свободный член делимого сложить со свободным членом частного, умноженным на число. Эти вычисления обычно записываются с помощью таблицы:

 коэффициенты делимого

 

 коэффициенты частного остаток

Математика