Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Комплексные числа

    Теоретические основы темы и решение типовых задач

    Введение комплексных чисел связано с неразрешимостью в области вещественных чисел операции извлечения корня четной степени из отрицательных чисел.

    Рассмотрим простейший случай:  или . Число, квадрат которого равен –1, называют мнимой единицей и обозначают буквой . Тогда  и

    Комплексные числа в алгебраической форме

    Комплексным числом называется выражение вида

    , (2.1)

    ( и  – действительные числа,  – мнимая единица), если для любых комплексных чисел   и  введены операции по следующим правилам:

    1) два комплексных числа  и   называются равными, если   и ;

    2) суммой и разностью двух комплексных чисел  
    и  называется комплексное число

    ; (2.2)

    3) произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число

    . (2.3)

    Степени числа : так как  то

     (2.4)

    Запись комплексного числа в виде  называется алгебраической формой записи комплексного числа, где   действительная часть числа   и обозначается , а  – мнимая часть числа  и обозначается . Тогда комплексное число можно записать как .

    Любое действительное число  содержится во множестве комплексных чисел, его можно записать так: . Числа 0, 1,  записываются соответственно в виде , , . Если , комплексное число  обращается в чисто мнимое число . Комплексное число  (отличается только знаком мнимой части) называется комплексно сопряженным с числом . Комплексные числа  и   называются противоположными. Модулем комплексного числа  называют число :

    . (2.5)

    Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число , причем  тогда и только тогда, когда . Из определения модуля комплексного числа следует, что для любых комплексных чисел  справедливы соотношения

    ; , если, (2.6)

    для любого целого числа  (при   предполагается, что ).

    Каков геометрический образ комплексного числа ? Комплексное число  изображают на координатной плоскости точкой с декартовыми координатами . Действительные числа  изображаются точками оси -ов. Чисто мнимые числа  – точками
    оси -ов. Ось -ов – действительная ось. Ось -ов – мнимая ось. Точка А, соответствующая комплексному числу  называется аффиксом данного комплексного числа.

    Каждой точке плоскости с координатами  соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0,0) и концом в точке А. Поэтому комплексное число  можно изобразить в виде вектора  с началом в точке  и концом в точке (рис. 2.1).

    Пример 1. Записать аффиксы следующих комплексных чисел и построить соответствующие им радиусы-векторы: 1)  2)   3) ; 4) ; 5).

    Решение.

    1) М1(2, 0);

    2) М2(–3, 0);

    3) М3(0, 3);

    4) М4(0, –2);

    5) М5(2, 3) (рис. 2.2).

    Пример 2. Найти множество точек, для которых .

    Решение. Точки искомого множества удовлетворяют неравенству , т. к.  (рис. 2.3).

    Пример 3. Найти корни уравнения .

    Решение. По известной формуле имеем

    ,

    т. е.

    Ответ:

    Пример 4. Найти сумму , если: а)  и

    Решение. =.

    Ответ: .

    Найти сумму , если: б)  и  .

    Решение. =.

    Ответ: .

    Пример 5. Найти разность , если  и .

    Решение. = () – () = .

    Ответ: .

    Пример 6. Найти , если  и .

    Решение. =( ))=

    Ответ: .

    Пример 7. Найти , если  и .

    Решение. =.

    Ответ: .

    спортивная сумка женская.
    Математика