Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Комплексные числа

Теоретические основы темы и решение типовых задач

Введение комплексных чисел связано с неразрешимостью в области вещественных чисел операции извлечения корня четной степени из отрицательных чисел.

Рассмотрим простейший случай:  или . Число, квадрат которого равен –1, называют мнимой единицей и обозначают буквой . Тогда  и

Комплексные числа в алгебраической форме

Комплексным числом называется выражение вида

, (2.1)

( и  – действительные числа,  – мнимая единица), если для любых комплексных чисел   и  введены операции по следующим правилам:

1) два комплексных числа  и   называются равными, если   и ;

2) суммой и разностью двух комплексных чисел  
и  называется комплексное число

; (2.2)

3) произведением двух комплексных чисел  и  называется комплексное число

. (2.3)

Степени числа : так как  то

 (2.4)

Запись комплексного числа в виде  называется алгебраической формой записи комплексного числа, где   действительная часть числа   и обозначается , а  – мнимая часть числа  и обозначается . Тогда комплексное число можно записать как .

Любое действительное число  содержится во множестве комплексных чисел, его можно записать так: . Числа 0, 1,  записываются соответственно в виде , , . Если , комплексное число  обращается в чисто мнимое число . Комплексное число  (отличается только знаком мнимой части) называется комплексно сопряженным с числом . Комплексные числа  и   называются противоположными. Модулем комплексного числа  называют число :

. (2.5)

Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число , причем  тогда и только тогда, когда . Из определения модуля комплексного числа следует, что для любых комплексных чисел  справедливы соотношения

; , если, (2.6)

для любого целого числа  (при   предполагается, что ).

Каков геометрический образ комплексного числа ? Комплексное число  изображают на координатной плоскости точкой с декартовыми координатами . Действительные числа  изображаются точками оси -ов. Чисто мнимые числа  – точками
оси -ов. Ось -ов – действительная ось. Ось -ов – мнимая ось. Точка А, соответствующая комплексному числу  называется аффиксом данного комплексного числа.

Каждой точке плоскости с координатами  соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0,0) и концом в точке А. Поэтому комплексное число  можно изобразить в виде вектора  с началом в точке  и концом в точке (рис. 2.1).

Пример 1. Записать аффиксы следующих комплексных чисел и построить соответствующие им радиусы-векторы: 1)  2)   3) ; 4) ; 5).

Решение.

1) М1(2, 0);

2) М2(–3, 0);

3) М3(0, 3);

4) М4(0, –2);

5) М5(2, 3) (рис. 2.2).

Пример 2. Найти множество точек, для которых .

Решение. Точки искомого множества удовлетворяют неравенству , т. к.  (рис. 2.3).

Пример 3. Найти корни уравнения .

Решение. По известной формуле имеем

,

т. е.

Ответ:

Пример 4. Найти сумму , если: а)  и

Решение. =.

Ответ: .

Найти сумму , если: б)  и  .

Решение. =.

Ответ: .

Пример 5. Найти разность , если  и .

Решение. = () – () = .

Ответ: .

Пример 6. Найти , если  и .

Решение. =( ))=

Ответ: .

Пример 7. Найти , если  и .

Решение. =.

Ответ: .

Математика