Решение типового варианта контрольной работы по математике Комплексные числа

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Комплексные числа в тригонометрической форме

    Комплексное число  изображается в виде вектора  с началом в точке  и концом в точке . Угол  между действительной осью Ох и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом комплексного числа  (рис. 2.4).

    Если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, если по движению часовой стрелки – отрицательной. Аргумент  комплексного числа  записывается так: = или = ().

    Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2. Аргумент комплексного числа определяется однозначно, если область его изменения ограничить промежутком величины 2. В качестве такого промежутка принято брать один из следующих промежутков, . Такое значение аргумента  называется главным значением аргумента . Так как аргумент  определяется с точностью до слагаемого , то

    . (2.7)

    Из рисунка видно, что

    , (2.8)

    .

    Запишем формулы для вычисления главного значения аргумента, принадлежащие промежутку :

     (2.9)

    Для представления комплексного числа  в тригонометрической форме необходимо найти:

    1) модуль этого числа ; изобразить точку  и выбрать нужное значение аргумента этого числа;

    записать , воспользовавшись соотношением (2.8). Получаем тригонометрическую форму комплексного числа

    =. (2.10)

    Действия над комплексными числами
    в тригонометрической форме

    При умножении двух или нескольких чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

     (2.11)

    При делении двух комплексных чисел модуль числителя делится на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя:

    . (2.12)

    При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль его возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени, т. е.

    , (2.13)

    где . Эта формула называется формулой Муавра.

    Корень -й степени из комплексного числа = имеет  различных значений, которые находятся по формуле

    , (2.14)

    где = 0, 1, 2,…, –1.

    Пример 8. Записать комплексное число  в тригонометрической форме.

    Решение. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме нужно знать его модуль и аргумент, по формуле (2.5) находим

    Затем подсчитываем главное значение аргумента . Вещественная и мнимая части данного комплексного числа положительны (). По формуле (2.9) главное значение аргумента совпадает с

    Тогда .

    Ответ: .

    Пример 9. Записать в тригонометрической форме комплексное число

    Решение. Данное число является вещественным и отрицательным, а главное значение его аргумента (см. формулу (2.9)) равно . Подсчитаем модуль числа

    Модуль и аргумент числа –5 найдены, по формулам (2.7) – (2.9) имеем .

    Ответ: .

    Пример 10. Найти аргумент числа  

    Решение. Вещественные и мнимые части данного числа отрицательны и по формуле (2.9) главное значение аргумента его совпадает с

    .

    Следовательно, .

    Пример 11. Найти произведение чисел , где

    .

    Решение. == .

    Ответ: = .

    Пример 12. Найти произведение чисел , где

    .

    Решение.

    =.

    Ответ:  = .

    Пример 13. Найти частное чисел  и , где

    .

    Решение.

    *==

    .

    Ответ: = .

    Пример 14. Найти , где .

    Решение. Возводим в шестую степень , согласно формуле (2.13):

    =.

    Ответ: =.

    Пример 15. Найти .

    Решение. Поскольку  =, то  состоит из чисел

     = =,

    где  (см. формулу (2.14)).

    Задаем k = 0, получим =;

    k = 1, получим =;

    k = 2, получим  =

    Ответ: =; =;  

    Пример 16. Найти .

    Решение. Поскольку =, то  состоит из чисел

     = .

    Задаем . Получаем =,

    =,

     = .

    Ответ: = = .

    Отметим, что точки плоскости  (рис. 2.5) являются вершинами правильного треугольника. Это не случайно – для любого  и любого  корни степени n из числа являются вершинами правильного -угольника с центром в нуле (рис. 2.5).

     

     

     

     

    Математика