Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Метод Гаусса

    (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

    В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

    Рассмотрим систему линейных уравнений:

    Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

    Определение: Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице А присоединить столбец свободных членов системы.

    Расширенная матрица – это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить работой со строками матрицы.

    Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:

    А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,

    Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

    Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

    Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.

    Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

    Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем к виду:

    Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

    , откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.

    Пример. Решить систему методом Гаусса.

    Составим расширенную матрицу системы.

    Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

    , откуда получаем:  z = 3; y = 2; x = 1.

    ПРИМЕР. Найти матрицу, обратную к матрице 

    .

    Так как определитель матрицы , то матрица имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы . Получим:

    ,

    .

    Следовательно, 

    и .

    Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число уравнений   и число неизвестных   совпадает и . Тогда: 

    1)  и, следовательно, такая система имеет единственное решение. 

    2) Матрица   имеет обратную матрицу .

    Покажем, как можно найти решение этой системы с помощью обратной матрицы . Запишем систему в матричной форме:

      (2)

    Умножим обе части равенства (2) на  слева. Получим:

    ,

      ,

      ,

      . (3)

    Таким образом, если в системе линейных уравнений  и , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле (3). Нахождение решения по формуле (3) называют  матричным методом решения системы.

    ПРИМЕР. Решить матричным методом систему

    Матрица системы имеет вид

    .

    Эта матрица невырожденная (), и, следовательно, решение может быть найдено матричным методом. Имеем (см. предыдущий пример):

    и .

    Таким образом, получили .

    Математика