Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Задачи более сложного типа

Пример 17. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней .

Решение. Если  – корень уравнения с действительными коэффициентами, то и  – тоже корень этого уравнения. Тогда левая часть квадратного уравнения раскладывается на множители 

т. е. искомое квадратное уравнение имеет вид . Этот же результат можно получить, производя решение по формуле Виета.

Ответ: .

Пример 18. Решить уравнение .

Решение. Так как два комплексных числа  и  называются равными, если  и , то преобразуем наше уравнение к виду

,

тогда решая уравнения

получаем

Ответ:

Пример 19. Изобразить множества точек, для которых выполняются заданные условия: .

Решение. Поскольку , имеем . Действительные числа  изображаются точками оси абсцисс (рис. 2.6), значит, мы имеем область – вертикальную полосу, ограниченную прямыми:  и  (точки прямой  в область не входят, поэтому эта прямая изображена пунктиром).

Пример 20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

.

Решение. Поскольку , имеем

.

Найдем модуль полученного комплексного числа

||=

По условию

, или

,

.

Выделяя полные квадраты по  и , получим

Это неравенство представляет собой внутренность кольца (рис. 2.7), т. к. левая часть двойного неравенства – область, лежащая вне круга радиусом 1 с центром в точке С (–0,5; 0,5), правая часть – круг с центром в точке С и радиусом, равным 2 (границы окружностей в область не входят, поэтому они изображены пунктиром).

Пример 21. Найти наибольшее и наименьшее значения , если .

Решение. Имеем

== .

Анализируя полученное = , делаем вывод, что наибольшее значение  равно (при ), а наименьшее значение равно (при ).

Ответ: наибольшее значение  = 3 (при ), а наименьшее значение  = 1 (при ).

Пример 22. Решить неравенство

. (*)

Решение. ОДЗ: , отсюда ; находя модуль, имеем  или , тогда .

Из (*) имеем , по определению . Из последнего неравенства имеем , преобразовывая, получаем , т. е.  или , окончательно .

При условии получаем, что неравенству (*) удовлетворяет множество [–3;1)(–1;1].

Ответ: [–3;1)(–1;1].

2.3. Вопросы и задания для самоподготовки

Какое число называется мнимой единицей?

Назвать комплексные числа в алгебраической форме?

Перечислить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Назвать геометрический образ комплексного числа?

Назвать комплексные числа в тригонометрической форме?

Какое значение аргумента называется главным?

Назвать действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме?

Записать формулу, по которой осуществляется возведение комплексного числа в целую положительную степень.

Записать формулу, по которой находится корень -й степени из комплексного числа.

Вершинами чего являются корни степени  из числа ?

Тесты по теме комплексные числа

Задание

Варианты ответов

1

Вычислить уравнение

1) ; 2) ;

3) ;  4) ;

5) правильный ответ не указан

Задание

Варианты ответов

2

Решить на множестве комплексных чисел уравнение

1) ,; 2) ,;

3) ,; 4) ,;

5) правильный ответ не указан

3

Решить на множестве комплексных чисел уравнение

1) ,; 2) ,;

3),; 4) ,;

5) правильный ответ не указан

4

Вычислить

1) ;  2) ; 3) ; 4) ;

5) правильный ответ не указан

5

Вычислить сумму

1);  2) ;

3) ;  4) ;

5) правильный ответ не указан

6

Вычислить произведение

 и

1) 6; 2) +6; 3) ; 4);

5) правильный ответ не указан

7

Найти частное

 и

1); 2); 3) ; 4); 5) правильный ответ не указан

8

Найти частное 

в виде

1) ;  2) ;

3) ;  4) ;

5) правильный ответ не указан

9

Вычислить произведение

1) ; 2) ;

3) ;  4) ;

5) правильный ответ не указан

10

Вычислить 

1) ;  2) ;

3) ;  4) 1;

5) правильный ответ не указан

женская обувь купить недорого.
Математика