Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Задачи более сложного типа

    Пример 17. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней .

    Решение. Если  – корень уравнения с действительными коэффициентами, то и  – тоже корень этого уравнения. Тогда левая часть квадратного уравнения раскладывается на множители 

    т. е. искомое квадратное уравнение имеет вид . Этот же результат можно получить, производя решение по формуле Виета.

    Ответ: .

    Пример 18. Решить уравнение .

    Решение. Так как два комплексных числа  и  называются равными, если  и , то преобразуем наше уравнение к виду

    ,

    тогда решая уравнения

    получаем

    Ответ:

    Пример 19. Изобразить множества точек, для которых выполняются заданные условия: .

    Решение. Поскольку , имеем . Действительные числа  изображаются точками оси абсцисс (рис. 2.6), значит, мы имеем область – вертикальную полосу, ограниченную прямыми:  и  (точки прямой  в область не входят, поэтому эта прямая изображена пунктиром).

    Пример 20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству

    .

    Решение. Поскольку , имеем

    .

    Найдем модуль полученного комплексного числа

    ||=

    По условию

    , или

    ,

    .

    Выделяя полные квадраты по  и , получим

    Это неравенство представляет собой внутренность кольца (рис. 2.7), т. к. левая часть двойного неравенства – область, лежащая вне круга радиусом 1 с центром в точке С (–0,5; 0,5), правая часть – круг с центром в точке С и радиусом, равным 2 (границы окружностей в область не входят, поэтому они изображены пунктиром).

    Пример 21. Найти наибольшее и наименьшее значения , если .

    Решение. Имеем

    == .

    Анализируя полученное = , делаем вывод, что наибольшее значение  равно (при ), а наименьшее значение равно (при ).

    Ответ: наибольшее значение  = 3 (при ), а наименьшее значение  = 1 (при ).

    Пример 22. Решить неравенство

    . (*)

    Решение. ОДЗ: , отсюда ; находя модуль, имеем  или , тогда .

    Из (*) имеем , по определению . Из последнего неравенства имеем , преобразовывая, получаем , т. е.  или , окончательно .

    При условии получаем, что неравенству (*) удовлетворяет множество [–3;1)(–1;1].

    Ответ: [–3;1)(–1;1].

    2.3. Вопросы и задания для самоподготовки

    Какое число называется мнимой единицей?

    Назвать комплексные числа в алгебраической форме?

    Перечислить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

    Назвать геометрический образ комплексного числа?

    Назвать комплексные числа в тригонометрической форме?

    Какое значение аргумента называется главным?

    Назвать действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме?

    Записать формулу, по которой осуществляется возведение комплексного числа в целую положительную степень.

    Записать формулу, по которой находится корень -й степени из комплексного числа.

    Вершинами чего являются корни степени  из числа ?

    Тесты по теме комплексные числа

    Задание

    Варианты ответов

    1

    Вычислить уравнение

    1) ; 2) ;

    3) ;  4) ;

    5) правильный ответ не указан

    Задание

    Варианты ответов

    2

    Решить на множестве комплексных чисел уравнение

    1) ,; 2) ,;

    3) ,; 4) ,;

    5) правильный ответ не указан

    3

    Решить на множестве комплексных чисел уравнение

    1) ,; 2) ,;

    3),; 4) ,;

    5) правильный ответ не указан

    4

    Вычислить

    1) ;  2) ; 3) ; 4) ;

    5) правильный ответ не указан

    5

    Вычислить сумму

    1);  2) ;

    3) ;  4) ;

    5) правильный ответ не указан

    6

    Вычислить произведение

     и

    1) 6; 2) +6; 3) ; 4);

    5) правильный ответ не указан

    7

    Найти частное

     и

    1); 2); 3) ; 4); 5) правильный ответ не указан

    8

    Найти частное 

    в виде

    1) ;  2) ;

    3) ;  4) ;

    5) правильный ответ не указан

    9

    Вычислить произведение

    1) ; 2) ;

    3) ;  4) ;

    5) правильный ответ не указан

    10

    Вычислить 

    1) ;  2) ;

    3) ;  4) 1;

    5) правильный ответ не указан

    женская обувь купить недорого.
    Математика