Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Теоретические основы темы и решение типовых задач

    Понятие вектора. Прямоугольная декартова система координат

    Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются векторными.

    Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор  (получен приложением вектора   к точке ).

    Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

    Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.

    Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.

    Прямоугольной системой координат на плоскости называется упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу (рис. 3.1). Точка О – начало координат. Векторы , – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу соответственно. Они называются базисными векторами прямоугольной системы координат (или ортами).

    Проекции вектора  на координатные оси Ох и Оу, обозначим через  и  (рис. 3.1). Эти проекции вектора  называются его координатами.

    Координаты вектора   находятся по формулам:

    , (3.1)

    где точки А и В имеют координаты соответственно () и (). Тот факт, что вектор  имеет координаты  может быть записан так:

    . (3.2)

    Иначе, вектор представлен в разложении по базису ,.

    Расстояние между точками плоскости А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле

    . (3.3)

    По этой же формуле определяется длина отрезка  или модуль вектора .

    Координаты () средины отрезка   определяются по формулам:

    . (3.4)

    Если вектор имеет координаты , т. е. задана прямоугольная система координат в пространстве, его можно записать так:

    , (3.5)

    т. е  вектор представлен в разложении по базису . Векторы   – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу, Оz соответственно.

    Координаты вектора   находятся по формулам:

    , (3.6)

    где точки А и В, имеют координаты соответственно () и (). Расстояние между точками А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле

    . (3.7)

    По этой же формуле определяется длина отрезка  или модуль вектора .

    Координаты () средины отрезка  определяются по формулам:

     ; . (3.8)

    В общем случае, модуль вектора , заданного своими декартовыми координатами, находится по формуле

    . (3.9)

    Единичный вектор , сонаправленный с вектором , находится по формуле

    . (3.10)

    Для операций сложения, вычитания и умножения вектора на число справедливы следующие соотношения:

    ; (3.11)

    ; (3.12)

    , (3.13)

    где =; =; =.

    Математика