Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Теоретические основы темы и решение типовых задач

Понятие вектора. Прямоугольная декартова система координат

Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются векторными.

Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор  (получен приложением вектора   к точке ).

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.

Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.

Прямоугольной системой координат на плоскости называется упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу (рис. 3.1). Точка О – начало координат. Векторы , – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу соответственно. Они называются базисными векторами прямоугольной системы координат (или ортами).

Проекции вектора  на координатные оси Ох и Оу, обозначим через  и  (рис. 3.1). Эти проекции вектора  называются его координатами.

Координаты вектора   находятся по формулам:

, (3.1)

где точки А и В имеют координаты соответственно () и (). Тот факт, что вектор  имеет координаты  может быть записан так:

. (3.2)

Иначе, вектор представлен в разложении по базису ,.

Расстояние между точками плоскости А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле

. (3.3)

По этой же формуле определяется длина отрезка  или модуль вектора .

Координаты () средины отрезка   определяются по формулам:

. (3.4)

Если вектор имеет координаты , т. е. задана прямоугольная система координат в пространстве, его можно записать так:

, (3.5)

т. е  вектор представлен в разложении по базису . Векторы   – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу, Оz соответственно.

Координаты вектора   находятся по формулам:

, (3.6)

где точки А и В, имеют координаты соответственно () и (). Расстояние между точками А и В, имеющими координаты соответственно () и (), определяются по формуле

. (3.7)

По этой же формуле определяется длина отрезка  или модуль вектора .

Координаты () средины отрезка  определяются по формулам:

 ; . (3.8)

В общем случае, модуль вектора , заданного своими декартовыми координатами, находится по формуле

. (3.9)

Единичный вектор , сонаправленный с вектором , находится по формуле

. (3.10)

Для операций сложения, вычитания и умножения вектора на число справедливы следующие соотношения:

; (3.11)

; (3.12)

, (3.13)

где =; =; =.

Математика