Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Скалярное произведение векторов

Решение типовых задач

Скалярным произведением  векторов  и называется число

, (3.14)

где  – угол между векторами   и .

Приняты обозначения скалярного произведения или ().

Отметим следующие свойства скалярного произведения:

1) = ; 2)  =+; 3) .

В частности: , откуда

. (3.15)

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой

=. (3.16)

Косинус угла между векторами  и   определяется по формуле

. (3.17)

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов  и  имеет вид

 или  . (3.18)

Если скалярное произведение отрицательно , то угол между векторами  и тупой. Если , то угол между векторами  и острый.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов  и  является существование такого числа , что

. (3.19)

Если , то векторы имеют одинаковое направление, если , то направление противоположное. Из выражения (3.13) следует, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

 =  =.

Аппарат векторной алгебры позволяет создать особый метод решения различных геометрических задач. В таблице приводятся примеры использования векторного языка для формулировки и доказательства некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.

Что требуется

(на геометрическом языке)

Что достаточно сделать

(на векторном языке)

1. Установить параллельность прямых  и

Вводятся отрезки и, находят , где отрезки  и   принадлежат соответственно прямым m и n;   – число

2. Установить, что точки А, В и С принадлежат прямой

Установить справедливость одного из следующих равенств: , или , или ;

Доказать равенство

, где  и  – произвольная точка прямой

3. Установить перпендикулярность прямых m и n (т. е. )

Из скалярного произведения , где точки А и В принадлежат прямой m, а точки  и  – прямой n

4. Вычислить длину отрезка

В некоторой системе координат превратить искомый отрезок АВ в вектор   и воспользоваться формулой

5. Вычислить величину угла

Выбрать на сторонах угла векторы  и   и воспользоваться формулой , где   – угол между векторами и

Пример 1. Векторы   и  служат диагоналями параллелограмма. Выразить через  и   (рис. 3.2).

Решение. По определению суммы и разности векторов имеем +=, =. Сложив эти равенства, получим . Далее находим:

*,

,

Пример 2. Векторы  и   служат сторонами треугольника. Найти длину медианы

Решение. =(), ==(1; –1; 4).

.

Ответ: .

Пример 3. При каком значении  векторы  и   перпендикулярны?

Решение. Воспользуемся формулой (3.17)

=.

Ответ: .

Пример 4. При каком значении  векторы  и   коллинеарны?

Решение. Воспользуясь соотношением (3.18), получим . Отсюда: , ,. Решая эту систему получим , . Или из пропорциональности координат

 .

Ответ: при .

Математика