Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Скалярное произведение векторов

    Решение типовых задач

    Скалярным произведением  векторов  и называется число

    , (3.14)

    где  – угол между векторами   и .

    Приняты обозначения скалярного произведения или ().

    Отметим следующие свойства скалярного произведения:

    1) = ; 2)  =+; 3) .

    В частности: , откуда

    . (3.15)

    Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой

    =. (3.16)

    Косинус угла между векторами  и   определяется по формуле

    . (3.17)

    Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов  и  имеет вид

     или  . (3.18)

    Если скалярное произведение отрицательно , то угол между векторами  и тупой. Если , то угол между векторами  и острый.

    Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевых векторов  и  является существование такого числа , что

    . (3.19)

    Если , то векторы имеют одинаковое направление, если , то направление противоположное. Из выражения (3.13) следует, что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

     =  =.

    Аппарат векторной алгебры позволяет создать особый метод решения различных геометрических задач. В таблице приводятся примеры использования векторного языка для формулировки и доказательства некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.

    Что требуется

    (на геометрическом языке)

    Что достаточно сделать

    (на векторном языке)

    1. Установить параллельность прямых  и

    Вводятся отрезки и, находят , где отрезки  и   принадлежат соответственно прямым m и n;   – число

    2. Установить, что точки А, В и С принадлежат прямой

    Установить справедливость одного из следующих равенств: , или , или ;

    Доказать равенство

    , где  и  – произвольная точка прямой

    3. Установить перпендикулярность прямых m и n (т. е. )

    Из скалярного произведения , где точки А и В принадлежат прямой m, а точки  и  – прямой n

    4. Вычислить длину отрезка

    В некоторой системе координат превратить искомый отрезок АВ в вектор   и воспользоваться формулой

    5. Вычислить величину угла

    Выбрать на сторонах угла векторы  и   и воспользоваться формулой , где   – угол между векторами и

    Пример 1. Векторы   и  служат диагоналями параллелограмма. Выразить через  и   (рис. 3.2).

    Решение. По определению суммы и разности векторов имеем +=, =. Сложив эти равенства, получим . Далее находим:

    *,

    ,

    Пример 2. Векторы  и   служат сторонами треугольника. Найти длину медианы

    Решение. =(), ==(1; –1; 4).

    .

    Ответ: .

    Пример 3. При каком значении  векторы  и   перпендикулярны?

    Решение. Воспользуемся формулой (3.17)

    =.

    Ответ: .

    Пример 4. При каком значении  векторы  и   коллинеарны?

    Решение. Воспользуясь соотношением (3.18), получим . Отсюда: , ,. Решая эту систему получим , . Или из пропорциональности координат

     .

    Ответ: при .

    Математика