Решение типового варианта контрольной работы по математике Векторная алгебра

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач

    Пример 11. В равнобедренном треугольнике АВС () точка Е делит боковую сторону в отношении 3:1 (считая от вершины В). Найти угол между векторами  и , если

    Решение. Обозначим угол между векторами и   через . Так как  для получения ответа надо найти и скалярное произведение .

    Легко видеть (рис. 3.4), что  и что . Поэтому, пользуясь свойствами скалярного произведения, имеем

    () == ==.

    Опуская высоту  в треугольнике АВС, получаем прямоугольный треугольник , в котором . Тогда =

    Поскольку величина угла между векторами  и  равна , то =. Значит () =. Далее по теореме косинусов имеем

    =

    =

    Теперь получаем, что  

    Значит, .

    Ответ: .

    Пример 12. Длина ребра куба   равна 1. На ребре  взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна 1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF равна 1/4. Через центр куба и точки E и F проведена плоскость. Найти расстояние от вершины  до плоскости  (рис. 3.5).


    Решение. Обозначим через  ортогональную проекцию точки  на плоскость . Введем в пространстве систему координат, поместив начало координат в точку   и направив ось Ох по лучу , ось Оy по лучу , ось Cz по лучу  и взяв за единицу масштаба отрезок, длина которого равна 1. Тогда точки E, F, K, B1 будут иметь следующие координаты: E(1; 0; 1/3), F(0; 1/4; 0); K(1/2; 1/2; 1/2), B1(0; 0; 1). Поскольку векторы и  не коллинеарны и точка Q лежит в плоскости a, то существyют числа b и g такие, что   и . Поскольку , , то

    .

    Вектор ортогонален векторам   и , поэтому

    0 = (,)=

    .

    0 = (,)=

    .

    Решая эту систему относительно b и g,

    ,

    находим b = –12/85 и g = 18/85. Тогда , и искомое расстояние равно

    .

    Ответ: .

    Пример 13. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник, а точка O – основание высоты SO пирамиды – является серединой стороны AB и SO = 3:2. На ребрах SC и SB взяты соответствующие точки P и Q – средины этих ребер. Найти угол между прямыми AP и CQ (см. рис. 3.6).

    Решение. Соединим точку O с точкой C. Так как SO – высота пирамиды, то SO ^ AB и SO ^ OC. Кроме того, треугольник ABC правильный, поэтому CO ^ AB. Таким образом, удобно выбрать прямоугольную систему координат , как показано на рисунке. Примем сторону основания равной AB = 2. Тогда SO = 3, OC = . Найдем координаты нужных для дальнейших вычислений точек. Имеем O(0; 0; 0), , A(0; 1; 0), S(0; 0; 3), B(0; –1; 0), , . Далее находим координаты векторов , . Теперь прямым счетом находим =. Итак, угол между прямыми AP и CQ равен arccos.


    Векторно-координационный способ нахождения
    угла прямой с плоскостью

    Если прямая AB пересекает плоскость t и не перпендикулярна, то углом между прямой AB и плоскостью t называется угол между прямой AB и ее проекцией на плоскостьt.

    Решение такого рода задач по нахождению угла прямой с плоскостью состоит в следующем: используя особенности заданной фигуры, вводят в пространстве прямоугольную систему координат, находят координаты нужных точек, координаты какого-нибудь вектора , коллинеарного прямой AB, и вектора  – нормального вектора плоскости t. Далее находят косинус угла между векторами  и .

    Так как y - это угол между двумя прямыми, то . Но угол между векторами может принимать значения от 0 ° до 180 °.


    1. Если угол между векторами   и  изменяется от  
    (рис. 3.7, а), то cos и . Но , то есть в этом случае

     сos. (3.20)

    2. Если угол между векторами  и изменяется от  
    (рис. 3.7, б), то cos и = 90 ° + y. Но , т. е. в этом случае

     – сos. (3.21)

    Объединяя результаты (3.20) и (3.21), получаем формулу

    сos ,

    которую мы будем применять при решении задач на нахождение угла между прямой и плоскостью векторно-координационным способом.

    Координаты вектора  можно найти, не выходя за рамки школьной программы, например, следующим образом: если вектор   – нормальный вектор плоскости t, а векторы   и  – векторы, параллельные плоскости t, то  и , т. е.  и   или

    Из этой системы уравнений координаты  находятся с точностью до пропорциональности. Их можно принять за координаты нормального вектора плоскости t.

    Математика