Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Элементы комбинаторики и бином Ньютона

    Комбинаторика

    Комбинаторика (комбинаторный анализ) – раздел математики, основное внимание в котором сконцентрировано на задаче размещения объектов в соответствии со специальными правилами и нахождении числа способов, которыми это может быть сделано. С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику при рассмотрении различных возможных типов связи атомов в молекулах, биологу при изучении различных возможных последовательностей чередования аминокислот в белковых соединениях, конструктору, инженеру, диспетчеру при составлении графика движения и др.

    Комбинаторные вычисления лежат в основе решения многих задач теории вероятностей – важнейшего раздела современной математики, посвященного случайным величинам.

    Сформулируем основное правило комбинаторики (правило умножения).

    Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье действие n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то всю последовательность из k действий вместе можно выполнить N способами, где

    N = n1 · n2 · n3 · ... · nk . (4.1)

    Пример 1. Сколькими способами N можно собрать слово «мама», имея в азбуке пять букв «а» и три буквы «м» ?

    Решение. Первую букву слова можно выбрать тремя способами и на каждый вариант первой буквы имеется пять способов выбрать вторую букву. Значит, способов собрать «ма»: 3× 5 =15. Для каждого из них третья буква может быть получена двумя способами (остается только две буквы «м»), а последняя буква – четырьмя способами: 

    N = 3 × 5 × 2 × 4 = 120.

    Ответ: N = 120.

    Остановимся на некоторых понятиях, которые рассмотрены ниже.

    Под множеством понимают совокупность элементов произвольной природы, рассматриваемую как единое целое. Обычно в комбинаторике используют понятие «генеральная совокупность объема n». Это понятие можно связывать с понятием множества, содержащего n элементов. Например, множество учеников в классе, множество цифр в конкретной системе исчисления. Из множества можно образовывать части (подмножества).

    Подмножество, состоящее из k элементов n-множества называют k-подмножеством n-множества или соединением из n элементов по k. Это подмножество k из n множества называют еще и выборкой объема k из генеральной совокупности объема n.

    В зависимости от правил выбора соединения делят на три типа: перестановки, размещения и сочетания.

    Формула для числа перестановок

    Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число таких различных комбинаций (перестановок) определяется формулой

     Рn = n!, (4.2)

    которая непосредственно следует из основного правила комбинаторики.

    Замечание: символ n! (читается как факториал) есть сокращенное обозначение произведения 1 × 2 × 3…(n – 1) × n. Принимается, что 1!=1, 0!=1. 

    Пример 2. Сколько существует способов расстановки на полке
    6 разных книг?

    Решение. На первое место можно поставить любую из 6-ти книг, для каждого варианта первой книги на второе место может быть поставлена любая из оставшихся 5 книг. Для любой пары первых книг (а всего таких пар 6 × 5 = 30)  на третьем месте может быть одна из 4 книг. Значит, разных троек всего  6 × 5 × 4= = 120 и так далее. Итак, число перестановок N из 6 книг равно:

    N= 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 720.

    Ответ: N = 720.

    Пример 3. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

    Решение. Ясно, что в этом случае на каждой горизонтали и каждой вертикали шахматной доски может быть расположено только по одной ладье. Число возможных позиций N – число перестановок из 8 элементов:

    Р8

    Ответ: N=40320.

    Формула для числа размещений из n элементов по k

    Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

    Если из n разных объектов выбирается по k разных объектов, то с учетом порядка следования полное число разных выборок будет определять формула числа размещений без повторений.

    =  n (n – 1) ... (n – k + 1…). (4.3)

    Из основного правила комбинаторики эта формула получается на основе следующих рассуждений. На первом месте может быть любой из n объектов, на втором – любой из (n – 1) неиспользованных объектов (так как объекты не должны повторяться) и так далее, а на последнем,
    k-ом месте, – любой из неиспользованных (n – k + 1) объектов.

    Заметим, что

    = Рn. (4.4)

    Пример 4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? И сколько из них с неповторяющимися цифрами?

    Решение. Если цифры могут повторяться, то на любом месте в числе могут быть любые из пяти цифр. Значит, всего трехзначных чисел получается 5 × 5 × 5 = 53 = 125. Если же цифры не повторяются, то таких чисел

    = 5 × 4 × 3 = 60.

    Ответ: Всего трехзначных чисел получается 125. Если же цифры не повторяются, то таких чисел 60.

    Пример 5. В театре 10 актеров и 8 актрис. Сколькими способами можно распределить роли в спектакле, в котором 6 мужских и 3 женские роли?

    Решение. Рассуждаем следующим образом: распределяем мужчин на мужские роли (первое действие). Тогда n1 =  (важно не только выбрать актеров, но и распределить между ними роли). После этого производим второе действие – распределяем женские роли. Это можно осуществить n2 =  способами. Поэтому по принципу произведения:
    N = n1 × n2 = ×.

    Ответ: N = ×.

    Формула для числа сочетаний из n элементов по k

    Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

    По определению, если в выборках из n объектов по k объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся одинаковыми. Число таких одинаковых выборок по k разных объектов, которые получаются друг из друга перестановкой, равно k! Поэтому число выборок из n по k без учета порядка следования определяется формулой числа сочетаний без повторений.

     C = /k! = (4.5)

    Из этой формулы

     (4.6)

    Пример 6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из трех человек?

    Решение. Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, отличающиеся только составом, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число способов равно:

    C =

    Ответ: C =35.

    Пример 7. Найти число N всевозможных заполнений карточки спортлото «6» из «49».

    Решение. Генеральная совокупность – числа карточки спортлото
    (n = 49). Выборка – это зачеркнутые 6 чисел. Порядок, в котором вычеркиваются номера, не существенен. Повторов быть не может (в карточке любой номер есть только один раз). Поэтому

    N = C = 13 983 816.

    Ответ: N = 13 983 816.

    Пример 8. В шахматном турнире двое из участников выбыли, сыграв по три партии каждый, и поэтому на турнире было сыграно всего 84 партии. Сколько было участников первоначально?

    Решение. Пусть искомое число участников турнира было х. Полностью сыграли друг с другом по партии лишь х – 2 участников (двое выбыли)  и число этих партий N находится как число сочетаний из х – 2 элементов по 2:

    N=

    Чтобы найти общее количество сыгранных партий (а их 84), необходимо к числу N добавить 6 сыгранных партий двумя выбывшими участниками. Получаем уравнение

    Решаем его:  (отрицательный корень опускаем).

    Ответ: первоначально было 15 участников.

    Пример 9. Найти число диагоналей выпуклого десятиугольника.

    Решение. Вершины десятиугольника образуют множество 10 точек плоскости, из которых любые три не лежат на одной прямой. Соединяя всякую пару этих точек отрезком прямой, получаем отрезков, 10 из которых являются сторонами многоугольника, а другие 35 – его диагоналями.

    Ответ:

    Сочетания используются, если важен только состав элементов в выборке. Рассмотрим свойства сочетаний.

    Свойство 1. Имеет место соотношение

     (4.7)

    Свойство 2. Справедлива формула

     (4.8)

    Дадим определение размещений через сочетания. Пусть из множества, содержащего n элементов, составлены все сочетания по k элементов. Если в каждом сочетании произвести все перестановки, то все множество образовавшихся комбинаций называется размещениями из 
    n элементов по k:

    =  (4.9)

    Пример 10. Решить уравнение 

    Решение. По формуле (4.9)

    а по формуле (4.5)

    Таким образом, данное уравнение принимает вид  Преобразуем последнее выражение

    Раскладываем на множители выражение в каждой скобочке и выносим общий множитель:

    Решая последнее уравнение, имеем .

    Ответ: .

    Математика