Решение типового варианта контрольной работы по математике

Элементы комбинаторики и бином Ньютона

Биномом Ньютона называют формулу, представляющую выражение  при целом положительном  в виде многочлена.

При изучении формул сокращенного умножения были рассмотрены правила возведения двучлена в степень с натуральным показателем и приведены формулы для   при =1, 2, 3. Общая формула  имеет вид

 (4.10)

Коэффициенты , равные числу сочетаний из n элементов по k, называются биномиальными коэффициентами.

Для вычислений удобнее всего формула

  (4.11)

Пример 11. Вычислить

Решение.

Ответ:

Рассмотрим свойства биномиальных коэффициентов.

Свойство 1. Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала и конца бинома, равны между собой (так как ).

Свойство 2. Число биномиальных коэффициентов (следовательно, и число слагаемых в разложении степени бинома) равно n+1.

Свойство 3. Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n.

Свойство 4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на четных местах.

Свойство 5. Используя общую формулу общего члена разложения, запишем выражение для   и :

.

Таким образом, для нахождения биномиального коэффициента следующего члена разложения надо коэффициент данного члена умножить на показатель переменной a в этом члене и разделить на число членов, предшествующих определяемому.

Натуральная степень разности двух величин вычисляется по формуле

. (4.12)

Пример 12. Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?

Решение. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n, где
n – показатель бинома. По условию задачи 2n = 4096. Представим 4096 как 212. Тогда 2n = 212, отсюда n = 12 и =. Далее рассуждаем таким образом: так как показатель бинома 12 – четное число, то наибольшим биномиальным коэффициентом является коэффициент при среднем члене разложения, т. е.

Ответ:

Пример 13. Определить , если пятое слагаемое разложения не зависит от х.

Решение. Пятое слагаемое разложения  имеет вид

.

Так как это слагаемое не зависит от х, то =   . Тогда

=

Ответ:

Пример 14. Многочлен представить в виде разложения по убывающим степеням  х+1.

Решение. Заменяя х на , получаем

Раскрываем по формуле бинома Ньютона выражение , где =2, 3, 4, рассматривая х + 1 как один член. Далее приводим подобные и получаем

Ответ:   =

Пример 15. Найти коэффициент при х3 в выражении

Решение. Данное выражение является геометрической прогрессией с первым членом , и знаменателем, равным х + 1. Поэтому имеем

Поскольку нас интересует член с , а в последнем выражении происходит деление на , значит будем искать в числителе член, содержащий . Такой член есть только в разложении   и коэффициент при нем C =  является искомым.

Ответ: коэффициент при х3 есть C = .

Пример 16. Найти наибольшее слагаемое разложения .

Решение. По условию задачи имеем  и , т. е.

.

Или

,

,

Это дает

, 7,1 < m < 8,1.

Так как m натуральное число, получаем m = 8. Тогда

.

Ответ: ;

Математика