Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Метод Крамера.

    Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений  и число неизвестных  совпадают и матрица  системы – невырожденная. Справедлива следующая теорема.

    ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений   и число неизвестных   совпадает и  , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам 

      (),  (4)

    где , а  – определитель, получаемый из определителя   заменой его -го столбца на столбец свободных членов.

    Формулы (4) называются формулами Крамера.

    ПРИМЕР. Решить методом Крамера систему:

    Так как число уравнений и число неизвестных в системе совпадают, и определитель матрицы системы , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Имеем:

    .

    Следовательно, .

    Образец решения варианта.

    1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

     .

    Решение.

    Решение системы находим по формулам Крамера

    .

    Вычислим определитель системы

    .

    Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

     ;

     ;

    .

    Ответ :  .

    2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы

    .

    Решение.

    Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).

    Вычислим определитель данной системы :

    ,

    следовательно, система имеет единственное решение.

    Данную систему можно записать в матричной форме :

     , где  ,  ,   .

    Так как  , то для матрицы   существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение   слева на , получим  , откуда , или   .

    Найдем обратную матрицу  по формуле

     ,

    где  алгебраическое дополнение элемента   .

     ,

     ,

     .

     .

    Тогда 

     .

    Ответ :  .

    3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

     .

    Решение.

    Выпишем расширенную матрицу  данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

    .

    Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

     .

    Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную  на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

     .

    Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

    .

    Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

     .

    Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим  ,  ; затем из второго уравнения находим  ,  ; из первого уравнения получим  ,  .

    Ответ : .

    Гигпорно подробности здесь.
    Математика