Решение типового варианта контрольной работы по математике

Метод Крамера.

Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений  и число неизвестных  совпадают и матрица  системы – невырожденная. Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений   и число неизвестных   совпадает и  , то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам 

  (),  (4)

где , а  – определитель, получаемый из определителя   заменой его -го столбца на столбец свободных членов.

Формулы (4) называются формулами Крамера.

ПРИМЕР. Решить методом Крамера систему:

Так как число уравнений и число неизвестных в системе совпадают, и определитель матрицы системы , то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Имеем:

.

Следовательно, .

Образец решения варианта.

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

 .

Решение.

Решение системы находим по формулам Крамера

.

Вычислим определитель системы

.

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

 ;

 ;

.

Ответ :  .

2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы

.

Решение.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).

Вычислим определитель данной системы :

,

следовательно, система имеет единственное решение.

Данную систему можно записать в матричной форме :

 , где  ,  ,   .

Так как  , то для матрицы   существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение   слева на , получим  , откуда , или   .

Найдем обратную матрицу  по формуле

 ,

где  алгебраическое дополнение элемента   .

 ,

 ,

 .

 .

Тогда 

 .

Ответ :  .

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

 .

Решение.

Выпишем расширенную матрицу  данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

 .

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную  на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

 .

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

 .

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим  ,  ; затем из второго уравнения находим  ,  ; из первого уравнения получим  ,  .

Ответ : .

Гигпорно подробности здесь.
Математика