Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений  .

    Решение.

    Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы   к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение   , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме   , или  ,  . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе   - число неизвестных и число уравнений.   , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра   . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

     .

    5. При каких значениях  система

    имеет нетривиальные (ненулевые) решения ? Найти эти решения.

    Решение.

    Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения  :

     .

    Найдем теперь соответствующие решения.

    1) При  система имеет вид :

     .

    Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем

     .

    Так как определитель из коэффициентов при неизвестных  не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем   (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с  в правые части уравнений :

    .

    Полученную систему можно решить по формулам Крамера :

    где  ,  ,  .

    Тогда  ,  . Полагая  , где  произвольное действительное число , получаем решение системы :  ,  ,  .

    2) При  система имеет вид :

     .

    Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную матрицу  полученной системы :

     и приведем  ее к матрице ступенчатого вида :

     .

    Восстановим систему для полученной матрицы

        

      .

    Полагая  , где произвольное действительное число, получаем решение системы : .

    Ответ : При   система имеет нетривиальные решения :   ,  ,  ,   . При  система имеет нетривиальные решения : ,  .

    Математика