Решение типового варианта контрольной работы по математике

Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений  .

Решение.

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы   к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение   , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме   , или  ,  . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе   - число неизвестных и число уравнений.   , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра   . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

 .

5. При каких значениях  система

имеет нетривиальные (ненулевые) решения ? Найти эти решения.

Решение.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения  :

 .

Найдем теперь соответствующие решения.

1) При  система имеет вид :

 .

Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем

 .

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных  не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем   (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с  в правые части уравнений :

.

Полученную систему можно решить по формулам Крамера :

где  ,  ,  .

Тогда  ,  . Полагая  , где  произвольное действительное число , получаем решение системы :  ,  ,  .

2) При  система имеет вид :

 .

Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную матрицу  полученной системы :

 и приведем  ее к матрице ступенчатого вида :

 .

Восстановим систему для полученной матрицы

    

  .

Полагая  , где произвольное действительное число, получаем решение системы : .

Ответ : При   система имеет нетривиальные решения :   ,  ,  ,   . При  система имеет нетривиальные решения : ,  .

Математика