Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Система n линейных уравнений с n неизвестными

    Ограничимся сначала рассмотрением системы, у которой число уравнений равно числу неизвестных. Пусть мы имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными:

     (7.6)

    Наложим определенные условия на коэффициенты системы (7.6). Если этого не сделать, то нам придётся изучать здесь, например, и систему, состоящую из одного уравнения, повторённого n раз. Мы хотим, чтобы все уравнения системы были в определённом смысле независимы. Уже в школьном курсе широко применялся следующий приём: умножали первое уравнение на число , второе уравнение на число , а затем складывали эти уравнения почленно. Полученное уравнение (его естественно назвать линейной комбинацией исходных уравнений) является их следствием. Мы хотим, чтобы в системе (7.6) ни одно уравнение не являлось линейной комбинацией остальных. Если это выполнено, мы будем говорить, что уравнения линейно независимы.

    Составим определитель n-го порядка

    элементами которого являются коэффициенты при неизвестных системы (7.6). Он называется определителем системы (7.6).

    Для линейной независимости уравнений системы (7.6) достаточно потребовать теперь, чтобы определитель системы был отличен от нуля.

    Действительно, заметим, что при умножении какого-нибудь уравнения на число соответствующая строка определителя системы умножается на это число. При сложении уравнений строки определителя складываются. Поэтому, если одно из уравнений является линейной комбинацией остальных, соответствующая строка определителя системы есть линейная комбинация остальных строк. Из свойства 3° линейности определителя по строке и следствия 1 п. 6.3 следует, что при этом определитель системы равен нулю.

    Для получения решения системы (7.6) матричным способом заменим её (как и в п. 7.1) эквивалентным матричным уравнением

    , (7.7)

    где А – матрица системы, X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов.

    Так как определитель  отличен от нуля, то существует обратная матрица  .

    Умножая слева обе части матричного уравнения (7.7) на матрицу , будем иметь

    В силу сочетательного свойства произведения трёх матриц и определения единичной матрицы имеем

    поэтому решением системы (7.6) будет матрица-столбец

     (7.8)

    Легко проверить, что столбец X обращает уравнение (7.7) в тождество:

    Решение (7.8) в развёрнутой форме примет вид

    или после умножения матриц

    Отсюда следует, что для любого j ( j = 1, 2, …, n)

     (7.9)

    где  – определитель матрицы, полученной из матрицы заменой её j-го столбца столбцом свободных членов:

    Формулы (7.9) получили название формул Крамера.

    Тем самым доказано, что квадратная система линейных уравнений (7.6) с определителем системы, отличным от нуля, имеет и притом единственное решение, определяемое матричным соотношением (7.8) или эквивалентными ему формулами Крамера (7.9).

    Основное значение формул Крамера состоит в том, что они дают явное выражение для решения квадратной системы линейных уравнений (с определителем, отличным от нуля) через коэффициенты уравнений и свободные члены. Однако при больших n решение по формулам Крамера и матричным способом весьма трудоёмко, что связано с вычислением определителей и нахождением обратной матрицы. При n > 3 квадратные системы, а также системы, в которых либо определитель равен нулю, либо число уравнений вообще не равно числу неизвестных, решаются другими методами, более экономными в вычислительном отношении.

    П р и м е р. Решить систему уравнений

    а) матричным способом; б) по формулам Крамера.

    Р е ш е н и е. а) Обозначим

    Так как определитель системы , то матрица А невырожденная, и существует обратная матрица, равная (согласно примеру п. 6.4)

    По формуле (7.8) находим решение системы в матричной форме:

    Используя определение равенства двух матриц, получаем

    б) Найдем определитель системы . Так как , то решение системы по формулам Крамера имеет вид

    Вычисляем определители  получаемые из определителя  заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

    Следовательно,

    Подстановкой найденных значений в уравнения системы убеждаемся, что они обращаются в верные равенства.

    Математика