Решение типового варианта контрольной работы по математике

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  •  

    Элементарные преобразования матриц и систе линейных уравнений

    Прежде чем перейти к решению произвольных систем линейных уравнений, нам необходимо познакомиться с некоторыми сведениями, относящимися к теории матриц. Это отступление обусловлено тем, что произвольная система линейных уравнений (7.1) с точностью до обозначения неизвестных вполне определяется таблицей коэффициентов при неизвестных и свободными членами, и поэтому свойства системы должны проявляться в свойствах соответствующей матрицы.

    Пусть дана матрица

     (7.10)

    Конечно, в частном случае допускается равенство m=n, т. е. матрица А может быть квадратной.

    О п р е д е л е н и е 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

    умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;

    прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

    перестановка местами двух строк;

    аналогичные операции над столбцами.

    Применяя к матрице А какое-либо элементарное преобразование, мы получаем новую матрицу А'. Для этих двух матриц справедливо следующее предложение.

    П р е д л о ж е н и е. Элементарные преобразования матрицы обратимы, т. е. если матрица  получается из при помощи какого-либо элементарного преобразования , то и матрица   может быть получена из   также при помощи некоторого элементарного преобразования (называемого обратным к первому).

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть матрица   получается из  умножением i-й строки на число . Умножая i-ю строку матрицы  на число  (т. е. применяя к  элементарное преобразование), мы получим исходную матрицу .

    Пусть  получается из  прибавлением к i-й строке элементов j-й строки, умноженных на число . Прибавляя к элементам i-й строки матрицы  элементы её j-й строки, умноженные на , мы возвращаемся к матрице .

    Наконец, если  получается из  перестановкой i-й и j-й строк, то, переставляя в  те же i-ю и  j-ю строки, мы снова получим исходную матрицу .

    Совершенно аналогичным образом проверяется обратимость элементарных преобразований над столбцами.

    Рассмотрим теперь произвольную линейную систему (7.1). Матрица , определенная формулой (7.10) и составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (7.1), а матрица

     (7.11)

    получающаяся из А добавлением столбца из свободных членов системы (7.1), называется расширенной матрицей системы (7.1). Матрица B, очевидно, вполне определяет систему (7.1) с точностью до обозначения неизвестных.

    О п р е д е л е н и е 2. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие операции:

    умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

    прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число;

    перестановка местами двух уравнений в системе.

    Выполняя элементарное преобразование в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы В этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию над строчками расширенной матрицы В соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строчками её расширенной матрицы. Отсюда следует, в частности, что элементарные преобразования системы обратимы, т. е. если мы, сделав элементарное преобразование, перешли от одной системы к другой, то мы можем вернуться от полученной новой системы к первоначальной, выполнив опять некоторое элементарное преобразование.

    О п р е д е л е н и е  3. Две системы линейных уравнений с одинаковыми неизвестными  называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

    Заметим, что число уравнений в системах может быть при этом различным.

    Итак, если мы имеем две равносильные системы, то, определив решение одной из них, мы тем самым будем знать решение другой. Ясно, что решать мы будем ту систему, которая проще.

    Заметим, что уравнение вида

    удовлетворяется, очевидно, при любых значениях неизвестных. Следовательно, если мы припишем такое уравнение к некоторой системе или, наоборот, вычеркнем его из системы, то новая система будет равносильна первоначальной.

    Напротив, если в системе встретилось уравнение вида

    то такому уравнению не могут удовлетворять никакие значения неизвестных и, следовательно, система будет несовместной. Уравнение такого вида будем называть противоречивым. Наличие в системе противоречивого уравнения свидетельствует о том, что система не имеет решений.

    Справедлива следующая теорема об элементарных преобразованиях системы.

    Т е о р е м а. При элементарных преобразованиях система (7.1) переходит в равносильную систему.

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для простоты в системе (7.1) m=2, тогда она примет вид:

     (7.12)

    При элементарных преобразованиях типа 1) и 2) новая система будет иметь вид

     (7.13)

    Убедимся, что системы (7.12) и (7.13) равносильны. Действительно, если числа  являются решением системы (7.12), то уравнения этой системы превращаются в числовые равенства, но тогда будут числовыми равенствами и уравнения системы (7.13).

    Значит, числа  будут решением системы (7.13) (в случае элементарного преобразования типа 3) это очевидно). Благодаря обратимости элементарных преобразований справедливо и обратное: всякое решение системы (7.13)  является решением и системы (7.12). Таким образом, если системы (7.12) и (7.13) имеют решения, то эти решения для обеих систем одинаковы.  Ясно также, что если одна из систем несовместна, то несовместной будет и другая система. Следовательно, системы (7.12) и (7.13) равносильны, а это и требовалось доказать.

    С л е д с т в и е. Элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы соответствуют преобразования системы линейных уравнений в равносильную систему.

    7.4. Метод Гаусса

    При помощи элементарных преобразований мы можем значительно упростить заданную систему. Решив упрощённую систему, мы найдем тем самым и решение исходной системы. При этом упрощений можно достигать, конечно, разными способами.

    Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в том, что последовательным исключением неизвестных при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной или трапециевидной. После этого уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.

    Пусть задана произвольная система линейных уравнений (7.1). Будем считать, что   (в противном случае можно произвести перестановку уравнений). Исключим сначала неизвестное   из всех уравнений системы (7.1), кроме первого. Для этого прежде всего разделим обе части первого уравнения на коэффициент ; тогда получим новую систему, равносильную данной:

     (7.14)

    Умножим теперь первое уравнение системы (7.14) на   и сложим его почленно со вторым уравнением. Затем умножим первое уравнение системы (7.14) на  и сложим его с третьим уравнением и так далее. В результате получим новую систему, также равносильную данной:

     (7.15)

    Здесь штрихами отмечены коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные при первом шаге исключения неизвестных по формулам

    Допустим, что в системе (7.15)  (в противном случае всегда можно изменить порядок следования уравнений или перенумеровать неизвестные). Разделим теперь второе уравнение системы (7.15) на коэффициент ; затем умножим второе уравнение полученной системы последовательно на   и сложим поочередно с каждым соответствующим уравнением системы, кроме первого и второго. Тогда получим систему, равносильную системам (7.1), (7.14), (7.15):

     (7.16)

    Далее действия над уравнениями системы (7.16) будем продолжать аналогично. Если при этом появятся нулевые уравнения, т. е. равенства 0=0, их отбрасывают, поэтому можно считать, что в системе (7.16) таких уравнений нет. Процесс указанных равносильных преобразований над системой линейных уравнений называется процессом Гаусса.

    В результате процесса Гаусса возможны следующие три случая.

    1. При некотором преобразовании получаем противоречивое уравнение, левая часть которого равна нулю, а правая отлична от нуля; это свидетельствует о несовместности исходной системы (7.1).

    2. Система (7.1) сводится к треугольному виду:

     (7.17)

    Покажем, что система уравнений (7.17) определена. Из последнего уравнения имеем   Подставляя это значение   во все уравнения системы, начиная снизу, найдем последовательно значения неизвестных . Система (7.1) равносильна системе (7.17), поэтому полученное решение также будет единственным решением системы (7.1), т. е. она является совместной и определённой.

    3. Система (7.1) преобразуется в трапециевидную:

     (7.18)

    причём s  <  n.

    Покажем, что система (7.18) является неопределённой. Для этого в последнем уравнении системы (7.18) выразим  через , перенося члены с этими неизвестными в правую часть уравнения.

    Перенося в каждом из уравнений системы (7.18) члены с неизвестными  в правую часть, получим систему вида

     (7.19)

    Придавая неизвестным , которые называются свободными, произвольные значения , получим треугольную систему вида (7.17), из которой последовательно найдём все остальные неизвестные  Так как свободным неизвестным можно придать любые значения, то исходная система (7.1) имеет бесчисленное множество решений, т. е. является неопределённой.

    Полученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.

    Т е о р е м а. 1) Если в процессе Гаусса появится уравнение , где , то исходная система несовместна, т. е. решений не имеет.

    2) Если система приводится к треугольному виду, то она является определённой, т. е. решение системы существует и единственно.

    3) Если система приводится к трапециевидной форме, то она является неопределённой, т. е. имеет бесчисленное множество решений.

    При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобно записывать её в виде расширенной матрицы системы (7.11), составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, и выполнять затем элементарные преобразования, указанные в процессе Гаусса, со строками расширенной матрицы. Это сокращает запись решения линейной системы и делает его более простым и наглядным.

    П р и м е р 1. Найти решение системы:

    Р е ш е н и е. Запишем эту систему в виде расширенной матрицы системы и выполним действия, указанные в методе Гаусса, с её строками, используя символическую запись для краткого пояснения решения.

     : (4)

     
     ~   ~

     ~  ~

     : (–10)

     
     ~ 

    Знак ~ при записи матриц означает равносильность соответствующих им систем линейных уравнений. Следовательно, полученной матрице соответствует система уравнений, равносильная заданной:

    Так как система уравнений привелась к треугольному виду, то она является совместной и определенной. Последовательно решая уравнения системы снизу вверх, получим решение

    Водительское удостоверение на квадроцикл подробнее.
    Математика