Решение типового варианта контрольной работы

Вычислить пределы функций.

Найти Решение. Для раскрытия неопределенности  в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел: .

Примеры решения заданий Доказать, что  (указать ), где .

Вычислить предел функции: .

Дифференцируемые функции Найти производную функции.

Исследовать функцию и построить ее график.

Неопределенный интеграл Таблица основных неопределённых интегралов.

Интеграл вида , если функция R является нечетной относительно sinx.

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции. К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Практикум по решению задач Найти и изобразить область определения функций: а) ; б) .

Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции

Вычислить повторный интеграл .

Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Вычислить тройной интеграл  , где .

Способы задания функции

Предел функции на бесконечности

Первый замечательный предел

Непрерывность функции в точке и на промежутке

Пример. Исходя из определения найти производную функции у =.

Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

Дифференцирование функции, заданной неявно

Пример. Вычислить приближённо

Теорема Ролля

Асимптоты плоской кривой

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Таблица основных неопределённых интегралов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Непосредственное интегрирование

Интегрирование по частям

Интегрирование рациональных дробей Представить дробь  в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.

Интегрирование простых дробей Задача интегрирования рациональной дроби сводится к умению интегрирования только правильных рациональных дробей, так как интегрирование целой части дроби (многочлена) – задача не сложная. Если решена задача разложения правильной дроби на сумму простых дробей, то дальше надо уметь интегрировать простые дроби. Покажем, как интегрировать простые дроби (четыре типа).

Интегрирование тригонометрических выражений

Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница Интеграл с переменным верхним и постоянным нижним пределами и его свойства

Методы интегрирования определённого интеграла Замена переменной в определённом интеграле

Приложения определённого интеграла Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ