Контрольная работа Интегралы анализ

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:

 - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

 - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

  - интегральный логарифм

  - приводится к интегральному логарифму

 - интегральный синус

  - интегральный косинус

40.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

41. , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = p/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

42. - не существует.

Несобственный интеграл расходится.

43.  - интеграл сходится.

44. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле: (ед2)

45. Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r,  тогда

Решение типового варианта контрольной работы по математике