Контрольная работа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Практикум по решению задач

1. Найти и изобразить область определения функций:

а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем)   Следовательно, область определения множество точек   .Область определения изображена на рис. 1.

б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств

 

Область определения получается пересечением множеств:  - множество точек «под» параболой , включая саму параболу; - внутренность круга радиуса 1 с центром в точке , - вся плоскость Oxy, исключая точку .

Итак,   (рис. 2).

2. Вычислить пределы:а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой  y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из  следует  и . Пределы получаются разными при различных «k» и не существует числа A, к которому значения  становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®¥½=½применим правило Лопиталя два раза½=

 – предел существует и равен нулю. #

3. Найти точки разрыва функций: а)  б)

Ñ а) Область существования функции  есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию  или - внутренность круга радиуса  с центром в точке O (0;0). Функция  не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда  или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва  функции образуют поверхность – конус. #

4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .

Ñ Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: ,

. Дифференцируя вторично, получим:

,

,

,

.#

5. Найти полное приращение и дифференциал функции  в точке .

Ñ По формуле (5.1)   =.

 Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно .#

6. Найти дифференциал функции .

Первый способ. По формуле (5.4):  ,

.

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

+

. #

Решение типового варианта контрольной работы по математике