Контрольная работа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции .

    Ñ По формуле (5.4): . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

    =

    #

    8. Найти , если , где .

    Ñ По формуле (6.1) имеем   . #

    9. Найти производную функции .

    Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

    Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию  вместо x и y двух одинаковых функций переменой t:  . Тогда по формуле (6.1):  + получаем = + .#

    10. Найти  и , если , где y = sin2x.

    Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .#

    11. Найти , если , где , .

    Ñ - сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

    ,

    ,

    .#

    12. Найти , если .

    Ñ  и по формуле (6.4) получаем  =. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка  принадлежит графику функции, т.е. . Поэтому .#

    13. Найти , если .

    ÑЛевую часть данного уравнения обозначим . По формуле (6.5) получим:, .#

    14. Вычислить приближенно .

    Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции  при  и , если . Точка  выбрана из соображений близости ее к точке  и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем .

    Находим  . Следовательно,  » . #

    15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

    Ñ Обозначив через   левую часть уравнения поверхности, найдем
           По формуле (7.2) имеем уравнение касательной плоскости  или . По формулам (7.3) находим уравнения нормали в параметрической форме , отсюда можно получить канонические  уравнения нормали . #

    16. Исследовать на экстремум функцию .

    Ñ Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему  решая которую получаем критические точки  . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума. Находим  . В точке : , , Следовательно, - седловая точка. В точке :  , , поэтому - точка минимума функции z; . #

    17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области D, заданной неравенствами .

    Ñ Область D ограничена частью параболы  и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции:  Решение системы: x =32,5, y = –13. Найденная критическая точка  не принадлежит D.

    2) Исследуем функцию на границе. а) На участке . Функция  сводится к функции одной переменной  .Находим критические точки функции : . На  x = 4 и точки . б) На линии   . Функция  сводится к функции , . Находим критические точки функции : , , , , . На   и получаем точки , .

    3) Вершины ломаной в точках  и . 4) Вычисляем значения функции f в точках  , , , . Итак, , .#

    Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

    Ñ Имеем . Вычислим последовательно частные производные данной функции: ,

    .

    Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке (2,-1):

    . По формуле (7.4) получаем искомое разложение

    .#

    19. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

    Ñ Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

    ,,

      . По формуле (7.4) имеем , где . #

    Решение типового варианта контрольной работы по математике