Контрольная работа ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции .

Ñ По формуле (5.4): . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

=

#

8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем   . #

9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию  вместо x и y двух одинаковых функций переменой t:  . Тогда по формуле (6.1):  + получаем = + .#

10. Найти  и , если , где y = sin2x.

Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .#

11. Найти , если , где , .

Ñ - сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

,

,

.#

12. Найти , если .

Ñ  и по формуле (6.4) получаем  =. В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка  принадлежит графику функции, т.е. . Поэтому .#

13. Найти , если .

ÑЛевую часть данного уравнения обозначим . По формуле (6.5) получим:, .#

14. Вычислить приближенно .

Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции  при  и , если . Точка  выбрана из соображений близости ее к точке  и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем .

Находим  . Следовательно,  » . #

15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

Ñ Обозначив через   левую часть уравнения поверхности, найдем
       По формуле (7.2) имеем уравнение касательной плоскости  или . По формулам (7.3) находим уравнения нормали в параметрической форме , отсюда можно получить канонические  уравнения нормали . #

16. Исследовать на экстремум функцию .

Ñ Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему  решая которую получаем критические точки  . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума. Находим  . В точке : , , Следовательно, - седловая точка. В точке :  , , поэтому - точка минимума функции z; . #

17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области D, заданной неравенствами .

Ñ Область D ограничена частью параболы  и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции:  Решение системы: x =32,5, y = –13. Найденная критическая точка  не принадлежит D.

2) Исследуем функцию на границе. а) На участке . Функция  сводится к функции одной переменной  .Находим критические точки функции : . На  x = 4 и точки . б) На линии   . Функция  сводится к функции , . Находим критические точки функции : , , , , . На   и получаем точки , .

3) Вершины ломаной в точках  и . 4) Вычисляем значения функции f в точках  , , , . Итак, , .#

Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

Ñ Имеем . Вычислим последовательно частные производные данной функции: ,

.

Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке (2,-1):

. По формуле (7.4) получаем искомое разложение

.#

19. Функцию  разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

Ñ Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

,,

  . По формуле (7.4) имеем , где . #

Решение типового варианта контрольной работы по математике