Контрольная работа КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ РИМАНА.

Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат x, y к полярным  по формулам ,  . Подставим x и y в исходное неравенство, получим:  или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому  (или ).

В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #

7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , ,  (),  — постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;

2) Þ, ;

3)Þ

Область  переходит в область .

Рис. 14.9

 

Рис.14.9

 
В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #

8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Ñ Границей области является линия  или  - окружность радиуса 2 с центром в точке  (рис. 10).

Наличие в уравнении границы комбинации  наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам  по формулам , , . Уравнение границы   переходит в уравнение  или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда  (по смыслу r), то из  следует , отсюда получаем  (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле

. #

9. Вычислить , где  .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b, – эллипс с полуосями  и , y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 11).

Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам: , . Уравнения границы области в координатах  будут: 1), 2)  , 3) , 4) . Итак, область интегрирования в координатах  есть

. Тогда 

. #

Задания.

Записать символически правильную в направлении Oy область , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.

Записать символически правильную в направлении Ox область , если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.

10. Область V ограничена поверхностями  и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz, б) в направ лении Ox.

Ñ Область V — круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической поверхности , основанием, лежащим на плоскости z=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 12).Область V - правильная во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения  имеем - уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из уравнения  имеем . Для точек области V имеем: . Проекция области V на плоскость Oxy есть  (рис. 13), поэтому  , где .Так как S — правильная область, то   или . Поэтому требуемая запись будет    или  .

б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения  имеем . Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности находятся из решения системы уравнений:  ; в результате имеем  прямые в плоскости Oyz.

Итак, проекцией V на плоскость Oyz является область D — треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0 (рис. 14), поэтому  , где .

2

 
Так как область D – правильная, то рассматривая ее как правильную в направлении Oy, имеем , а потому  #

11. Вычислить , где область V ограничена поверхностями: .

Ñ Поверхности и  есть параболические цилиндры с образующими, параллельными  — плоскости. Область V – правильная в направлении Oz, а потому  для точек, принадлежащих V (рис. 15).

Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями  и   (рис. 16), а потому,  и .

Тогда = =

==½см. (2.3)½= = = #

Решение типового варианта контрольной работы по математике