Контрольная работа Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

Аналитическая геометрия
  • Системы линейных уравнений
  • Правило Крамера
  • Метод Крамера
  • Метод Гаусса
  • Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
  • Элементарные преобразования  матриц
  • Система n линейных  уравнений с n неизвестными
  • Система линейных  уравнений с базисом
  • Ранг матрицы
  • Собственные значения  и собственные векторы квадратной матрицы
  • Линейные действия над векторами
  • Скалярное произведение векторов
  • Даны координаты вершин пирамиды
  • Линейные операции над векторами.
  • Сложение векторов.
  • Разложение вектора по базису
  • Система координат
  • Скалярное произведение векторов и его приложение
  • Векторная алгебра
  • Решение типовых примеров
  • Векторное произведение векторов, его свойства
  • Преобразование алгебраических выражений
  • Комплексные числа
  • Комплексные числа в тригонометрической форме
  • Составить квадратное уравнение
  • Прямоугольная декартова система координат
  • Скалярное произведение векторов
  • Применение методов векторной алгебры для решения геометрических задач
  • Комбинаторика (комбинаторный анализ)
  • Бином Ньютона
  • Примеры вычисления интегралов
  • Неопределенный интеграл
  • Интегрирование некоторых иррациональных функций
  • Найти и изобразить область определения функций
  • Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков
  • Вычислить повторный интеграл .
  • Вычислить двойной интеграл
  • Вычислить тройной интеграл 
  • Способы задания функции
  • Предел функции на бесконечности
  • Первый замечательный предел
  • Непрерывность функции в точке и на промежутке
  • Исходя из определения найти производную функции
  • Примеры вывода производных некоторых элементарных функций
  • Дифференцирование функции, заданной неявно
  • Теорема Ролля
  • Асимптоты плоской кривой
  • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
  • Таблица основных неопределённых интегралов
  • Непосредственное интегрирование
  • Интегрирование по частям
  • Интегрирование рациональных дробей
  • Интегрирование простых дробей
  • Интегрирование тригонометрических выражений
  • Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений
  • ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  • Вычисление определенного интеграла
  • Методы интегрирования определённого интеграла
  • Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат
  • НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
  • Пределы
  • Предел последовательности
  • Пример. Найти предел 
  • Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса
  • Вычислить предел функции
  • Задачи, связанные с применением второго замечательного предела
  • Вычислить предел числовой последовательности
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Эквивалентные бесконечно малые функции
  • Односторонние пределы.
  • Свойства функций, непрерывных в точке
  • Исследовать функцию на непрерывность
  • Найти производную функции
  • Найти асимптоты и построить график функции
  • Векторная функция скалярного аргумента
  • Составить уравнения касательной
  • Методами дифференциального исчисления исследовать функцию
  • Найти неопределенный интеграл
  • Интегрирование рациональных функций
  • Интегрирование некоторых тригонометрических функций
  • Определенный интеграл
  •  

    Определение функции одной переменной

    Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью изменения Y = E(f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной или функцией.

    Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента x = x0 называют y0 = f(x0).

    Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x)) на плоскости Oxy, где x Î D(f) и f(x) Î E(f).

    Способы задания функции

    1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью формулы.

    Различают несколько способов аналитического задания функции:

    а) Функция задана явно формулой y = f(x).

    Например: , где D(y) = (– ∞;1)(1;+∞).

    б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F(x;y) = 0.

    Например:  – уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. Если из этого уравнения выразить y через x, то получится две функции:

    и ,

    которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой – , для второй – .

    в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причём и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра:

    Например: можно задать окружность  с помощью параметрических уравнений:

    2) Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др.

    3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

    Сложная и обратная функции

    Определение 1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g)D(f).

    Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).

    Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).

    Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому yE(f) соответствует единственное значение xD(f), при котором верно равенство y = f(x).

    Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

    Элементарные функции

    Основные элементарные функции:

    y = const (постоянная функция), D(y) = R; E(y) = c.

    (линейная функция), D(y) = R; E(y) = R.

    y =(степенная функция), α ÎR, E(y), D(y) зависят от α.

    y =   (показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0;+∞).

    y =(логарифмическая функция) ), a > 0, a ≠ 1, D(y) = (0;+∞), E(y) = R.

    Тригонометрические функции:

    y = sin x, D(y) = R, E(y) =.

    y = cos x, D(y) = R, E(y) =.

    y = tg x, D(y) = , E(y) = R.

    y = ctg x, D(y) = , E(y) = R.

    Обратные тригонометрические функции:

    y = arcsin x, D(y) = , E(y) = .

    y = arccos x, D(y) = , E(y) = .

    y = arctg x, D(y) = R, E(y) = .

    y = arcctg x, D(y) = R, E(y) = .

    Элементарной функцией называется функция, составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и суперпозиции.

    Например: – элементарная функция.

    Графики обратных тригонометрических функций: 

    y = arcsin x

    Рис. 1

    y = arccos x

      Рис. 2

    y = arctg x

    Рис. 3

    y = arcctg x

    Рис. 4

    Решение типового варианта контрольной работы по математике