Определение функции одной переменной
Определение. Пусть даны два множества X и Y.
Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный
элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y
= f(x) с областью определения X = D(f) и областью изменения Y = E(f). При этом
x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y – зависимой переменной
или функцией.
Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении
аргумента x = x0 называют y0 = f(x0).
Графиком функции y = f(x) называют
геометрическое место точек M(x;f(x)) на плоскости Oxy, где x Î
D(f) и f(x) Î E(f).
Способы
задания функции
1) Аналитический способ – способ задания функции с помощью
формулы.
Различают несколько способов аналитического задания функции:
а)
Функция задана явно формулой y = f(x).
Например:
, где D(y) = (– ∞;1)
(1;+∞).
б) Функция задана неявно
уравнением, связывающем x и y: F(x;y) = 0.
Например:
– уравнение окружности с центром в начале координат и
радиусом r. Если из этого уравнения выразить y через x, то получится две функции:
и
,
которые имеют область определения
, а области значений этих функций будут: для первой –
,
для второй –
.
в) Функция задана параметрически
с помощью некоторого параметра t, причём и аргумент x, и функция y зависят от
этого параметра:

Например:
можно задать окружность
с помощью параметрических уравнений:

2)
Табличный способ задания функции – например, таблицы Брадиса задают функции y
= sin x, y = cos x и др.
3) Графический способ задания функции, когда зависимость
функции от её аргумента задаётся графически.
Сложная и обратная функции
Определение
1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена
на D(g), причём E(g)
D(f).
Тогда функция y = F(x)
= f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией
функций f и g ).
Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно
отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).
Тогда функция x
= g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому y
E(f)
соответствует единственное значение x
D(f),
при котором верно равенство y = f(x).
Замечание. Графики функций y = f(x)
и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую
переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x)
будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Элементарные
функции
Основные элементарные функции:
y = const (постоянная функция),
D(y) = R; E(y) = c.
(линейная
функция), D(y) = R; E(y) = R.
y =
(степенная
функция), α ÎR, E(y), D(y)
зависят от α.
y =
(показательная функция), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, E(y) = (0;+∞).
y
=
(логарифмическая функция) ), a
> 0, a ≠ 1, D(y) = (0;+∞), E(y) = R.
Тригонометрические
функции:
y = sin x, D(y) = R, E(y) =
.
y = cos x, D(y) = R, E(y) =
.
y = tg x, D(y) =
, E(y) = R.
y = ctg x, D(y) =
, E(y) = R.
Обратные тригонометрические функции:
y
= arcsin x, D(y) =
, E(y) =
.
y = arccos x, D(y) =
, E(y) =
.
y = arctg x, D(y) = R, E(y) =
.
y = arcctg x, D(y) = R, E(y) =
.
Элементарной функцией называется функция, составленная
из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения,
вычитания, умножения, деления и суперпозиции.
Например:
– элементарная функция.
Графики обратных тригонометрических
функций:
y = arcsin x 
Рис.
1 |
y = arccos x 
Рис. 2 |
y = arctg x 
Рис.
3 |
y = arcctg x 
Рис.
4 |